Σε στενά όρια

#1

: Σε στενά όρια.png (15.62 KiB) Προβλήθηκε 3580 φορές

Έστω ημικύκλιο διαμέτρου

και σημείο του

διαφορετικό από τα $B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C$ .

Έστω ακόμα, AD = h

το ύψος του $\vartriangle ABC$ και

η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου .

1. Δείξετε ότι : $\dfrac{2}{5} < \dfrac{r}{h} < \dfrac{1}{2}$

2. Nα εντοπιστεί

, αν $\dfrac{r}{h} = \dfrac{5}{{12}}$ ( γεωμετρική κατασκευή)

#2

Doloros έγραψε:Σε στενά όρια.png

Έστω ημικύκλιο διαμέτρου και σημείο του διαφορετικό από τα $B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C$ .

Έστω ακόμα, το ύψος του $\vartriangle ABC$ και η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου .

1. Δείξετε ότι : $\dfrac{2}{5} < \dfrac{r}{h} < \dfrac{1}{2}$

2. Nα εντοπιστεί , αν $\dfrac{r}{h} = \dfrac{5}{{12}}$ ( γεωμετρική κατασκευή)

Καλησπέρα Νίκο!

: Σε στενά όρια.png (19.61 KiB) Προβλήθηκε 3543 φορές

1) $\displaystyle{\frac{{ah}}{2} = (ABC) = sr \Leftrightarrow }$ $\boxed{\frac{r}{h} = \frac{a}{{a + b + c}}}$

Αλλά από τριγωνική ανισότητα, $\displaystyle{\frac{a}{{b + c}} < 1 \Leftrightarrow \frac{a}{{a + b + c}} < \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{r}{h} < \frac{1}{2}}$ . Θα δείξω ότι:

$\displaystyle{\frac{a}{{a + b + c}} > \frac{2}{5} \Leftrightarrow 3a > 2(b + c) \Leftrightarrow 9{a^2} > 4({b^2} + {c^2}) + 8bc \Leftrightarrow 5{a^2} > 8ah \Leftrightarrow h < \frac{{5a}}{8}}$ , που ισχύει αφού $\displaystyle{h \le \frac{a}{2}}$

2) $\displaystyle{\frac{r}{h} = \frac{5}{{12}} \Leftrightarrow \frac{a}{{a + b + c}} = \frac{5}{{12}} \Leftrightarrow 7a = 5(b + c) \Leftrightarrow 24{a^2} = 50bc \Leftrightarrow 12{a^2} = 25ah \Leftrightarrow }$ $\boxed{h = \frac{{12a}}{{25}}}$

Φέρνουμε ευθεία παράλληλη στην

και σε απόσταση $\displaystyle{\frac{{12a}}{{25}}}$ από αυτήν, που τέμνει το ημικύκλιο στα ζητούμενα σημεία A, A_1

.

Εναλλακτικά, υπολογίζοντας τις κάθετες πλευρές του τριγώνου βρίσκουμε ότι είναι $\displaystyle{(b,c) = \left( {\frac{{4a}}{5},\frac{{3a}}{5}} \right)}$ ή και αντίστροφα, οπότε το τρίγωνο ABC

είναι κατασκευάσιμο.

Σημείωση: Σε αυτή τη θέση είναι $\displaystyle{{r = \frac{a}{5}}}.$

#3

Φιλικά,

Νίκος

STOPJOHN · #4

Doloros έγραψε:Σε στενά όρια.png

Έστω ημικύκλιο διαμέτρου και σημείο του διαφορετικό από τα $B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C$ .

Έστω ακόμα, το ύψος του $\vartriangle ABC$ και η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου .

1. Δείξετε ότι : $\dfrac{2}{5} < \dfrac{r}{h} < \dfrac{1}{2}$

2. Nα εντοπιστεί , αν $\dfrac{r}{h} = \dfrac{5}{{12}}$ ( γεωμετρική κατασκευή)

Kαλημέρα

1) Από τα όμοια τρίγωνα $IEJ,JAD, \dfrac{r}{h}=\dfrac{JE}{JA},(1)$
Aπό το θεώρημα της διχοτόμου στο τρίγωνο $ABC,JB=\dfrac{ac}{c+b}, JE=JB-EB=\dfrac{ac}{c+b}-\dfrac{a+c-b}{2}=\dfrac{(c-b)(a-b-c)}{2(c+b)},(2)$
$JD=JB-BD=\dfrac{ac}{c+b}-\dfrac{c^{2}}{a}=cb.\dfrac{b-c}{a(c+b)},(3)$
$(1),(2),(3)\Rightarrow \dfrac{r}{h}=\dfrac{a(b+c-a)}{2cb},(*)$

Απόδειξη των ανισοτήτων
$\dfrac{a(c+b-a)}{2cb}< \dfrac{1}{2}\Leftrightarrow cb>a(c+b-a)\Leftrightarrow cb>a(c+b)-a^{2}\Leftrightarrow a^{2}-(c+b)a+cb>0\Leftrightarrow (a-c)(a-b)>0,a>c,a>b,$

$\dfrac{(c+b-a)a}{2cb}>\dfrac{2}{5}\Leftrightarrow 5a(c+b)-5(b^{2}+c^{2})>4cb\Leftrightarrow a>b+c-6\dfrac{bc}{b+c}\Leftrightarrow 5b^{2}+5c^{2}-8bc>0,\Delta =-61c^{2}<0,a^{2}=b^{2}+c^{2}$

2)Για την κατασκευή

$\dfrac{5}{12}=\dfrac{ar}{cb}\Leftrightarrow h=\dfrac{cb}{a},(4), \dfrac{5}{12}=\dfrac{a(c+b-a)}{2cb}\Leftrightarrow r=\dfrac{7bc}{5(b+c)}=\dfrac{5h}{12}\Leftrightarrow h=\dfrac{7bc}{5(b+c)},(5), (4),(5)\Rightarrow 7a=5(b+c)\Rightarrow 49a^{2}=25(c+b)^{2}\Leftrightarrow 12a^{2}=25bc,(6), (4),(6)\Rightarrow h=\dfrac{12a}{25}$

Η κατασκευή τώρα είναι απλή

Γιάννης

#5

STOPJOHN έγραψε:
Doloros έγραψε:Σε στενά όρια.png

Έστω ημικύκλιο διαμέτρου και σημείο του διαφορετικό από τα $B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C$ .

Έστω ακόμα, το ύψος του $\vartriangle ABC$ και η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου .

1. Δείξετε ότι : $\dfrac{2}{5} < \dfrac{r}{h} < \dfrac{1}{2}$

2. Nα εντοπιστεί , αν $\dfrac{r}{h} = \dfrac{5}{{12}}$ ( γεωμετρική κατασκευή)

Kαλημέρα

1) Από τα όμοια τρίγωνα $IEJ,JAD, \dfrac{r}{h}=\dfrac{JE}{JA},(1)$
Aπό το θεώρημα της διχοτόμου στο τρίγωνο $ABC,JB=\dfrac{ac}{c+b}, JE=JB-EB=\dfrac{ac}{c+b}-\dfrac{a+c-b}{2}=\dfrac{(c-b)(a-b-c)}{2(c+b)},(2)$
$JD=JB-BD=\dfrac{ac}{c+b}-\dfrac{c^{2}}{a}=cb.\dfrac{b-c}{a(c+b)},(3)$
$(1),(2),(3)\Rightarrow \dfrac{r}{h}=\dfrac{a(b+c-a)}{2cb},(*)$

Απόδειξη των ανισοτήτων
$\dfrac{a(c+b-a)}{2cb}< \dfrac{1}{2}\Leftrightarrow cb>a(c+b-a)\Leftrightarrow cb>a(c+b)-a^{2}\Leftrightarrow a^{2}-(c+b)a+cb>0\Leftrightarrow (a-c)(a-b)>0,a>c,a>b,$

$\dfrac{(c+b-a)a}{2cb}>\dfrac{2}{5}\Leftrightarrow 5a(c+b)-5(b^{2}+c^{2})>4cb\Leftrightarrow a>b+c-6\dfrac{bc}{b+c}\Leftrightarrow 5b^{2}+5c^{2}-8bc>0,\Delta =-61c^{2}<0,a^{2}=b^{2}+c^{2}$

2)Για την κατασκευή

$\dfrac{5}{12}=\dfrac{ar}{cb}\Leftrightarrow h=\dfrac{cb}{a},(4), \dfrac{5}{12}=\dfrac{a(c+b-a)}{2cb}\Leftrightarrow r=\dfrac{7bc}{5(b+c)}=\dfrac{5h}{12}\Leftrightarrow h=\dfrac{7bc}{5(b+c)},(5), (4),(5)\Rightarrow 7a=5(b+c)\Rightarrow 49a^{2}=25(c+b)^{2}\Leftrightarrow 12a^{2}=25bc,(6), (4),(6)\Rightarrow h=\dfrac{12a}{25}$

Η κατασκευή τώρα είναι απλή

Γιάννης

βεβαίως και στον Γιάννη

Φιλικά ,

Νίκος

Σε στενά όρια

Σε στενά όρια

Re: Σε στενά όρια

Re: Σε στενά όρια

Re: Σε στενά όρια

Re: Σε στενά όρια

Μέλη σε σύνδεση