Ένα από τα πολλά

#1

: Λελογισμένο τρίγωνο.png (12.38 KiB) Προβλήθηκε 1048 φορές

Κατασκευάστε, γεωμετρικά, ένα τρίγωνο( υπάρχουν άπειρα) με τις ακόλουθες προδιαγραφές:

1. $A - C = 90^\circ$ και

2. a + c = 2b

Πόσες,το πολύ, ακεραίου μήκους πλευρές μπορεί να έχει αυτό το τρίγωνο ;

Τώρα αν επί πλέον είναι γνωστή η ακτίνα

του περιγεγραμμένου κύκλου του ABC

να υπολογίσετε τις πλευρές του ως έκφραση του

.

(Στο σχήμα , ισχύουν οι προδιαγραφές, R=4

.)

Ν.

coyote · #2

Doloros έγραψε:
Το συνημμένο Λελογισμένο τρίγωνο.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Κατασκευάστε, γεωμετρικά, ένα τρίγωνο( υπάρχουν άπειρα) με τις ακόλουθες προδιαγραφές:

1. $A - C = 90^\circ$ και

2.

Πόσες,το πολύ, ακεραίου μήκους πλευρές μπορεί να έχει αυτό το τρίγωνο ;

Τώρα αν επί πλέον είναι γνωστή η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του να υπολογίσετε τις πλευρές του ως έκφραση του .

(Στο σχήμα , ισχύουν οι προδιαγραφές, .)

Ν.

Έστω

η διχοτόμος της γωνίας Β του τριγώνου. Από Θ.Διχοτόμων έχουμε $\frac{a}{CD} = \frac{a+c}{b} = 2 \Rightarrow\boxed{CD = \frac{a}{2}}$

Επομένως το

βρίσκεται πάνω στον κύκλο $(C,\frac{a}{2})$

Η γωνία Β είναι $B=180^\circ-C-A = 90^\circ-2C \Rightarrow \angle DBC = 45^\circ-C$

Επομένως $\angle BDC = 180^\circ - (C+45^\circ-C) = 135^\circ$ . Δηλαδή το

βλέπει το

υπό γωνία 135 μοιρών

Κατασκευή

Κατασκευάζουμε

με αυθαίρετο μήκος

Κατασκευάζουμε τον κύκλο $K_1=(C,\frac{a}{2})$
Κατασκευάζουμε ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο OBC

(Ο=90)

Κατασκευάζουμε τον κύκλο K_2=(O,OB)

Έστω

το σημείο τομής των K_1, K_2

, έτσι ώστε A,O

εκατέρωθεν της

Τότε θα είναι $\angle BDC = 135^\circ$ και $CD = \frac{a}{2}$
Το

θα βρίσκεται στην τομή των BC'

και

, όπου

το συμμετρικό του

ως προς την

Από την κατασκευή γίνεται φανερό ότι όλα τα δυνατά τρίγωνα είναι μεταξύ τους όμοια

STOPJOHN · #3

Doloros έγραψε:
Το συνημμένο Λελογισμένο τρίγωνο.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Κατασκευάστε, γεωμετρικά, ένα τρίγωνο( υπάρχουν άπειρα) με τις ακόλουθες προδιαγραφές:

1. $A - C = 90^\circ$ και

2.

Πόσες,το πολύ, ακεραίου μήκους πλευρές μπορεί να έχει αυτό το τρίγωνο ;

Τώρα αν επί πλέον είναι γνωστή η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του να υπολογίσετε τις πλευρές του ως έκφραση του .

(Στο σχήμα , ισχύουν οι προδιαγραφές, .)

Ν.

Kαλημέρα και Καλή Χρονιά

$\hat{A}-\hat{C}=90^{0},(1), a+c=2b,(2) (2)\Leftrightarrow 2RsinA+2RsinC=2.2RsinB\Leftrightarrow (2sin\dfrac{A+C}{2}).\dfrac{\sqrt{2}}{2}=4sin \dfrac{A+C}{2}cos\dfrac{C+A}{2}\Leftrightarrow cos\dfrac{A+C}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{4},(3) (3)\Rightarrow A+C=2\phi ,A-C=90^{0}, A=\phi +45^{0},C=\phi -45^{0}$

H γωνία φ είναι γνωστή με $cos\phi =\dfrac{\sqrt{2}}{4}$

Συνεπώς το τρίγωνο ABC

διατηρεί σταθερές τις γωνίες του δηλαδή είναι όμοιο προς εαυτό.

Προεκτείνω την CA=AZ=b

και την

Αρα τα τρίγωνα EZA,EBA

είναι

ισοσκελή και συνεπώς ένα απο τα πολλα τρίγωνα ABC

μπορεί να κατασκευασθεί :

Κατασκευή :

Με αυθαιρετο μήκος ZC=2b=EC,

και γωνία $\hat{C}=\hat{\phi }-45^{0}$ κατασκευάζω

το ισοσκελές τρίγωνο EZC

Aν

είναι το μέσο της

τότε η μεσοκάθετος του

προσδιορίζει το σημείο Β

Γιάννης

#4

Doloros έγραψε:
Το συνημμένο Λελογισμένο τρίγωνο.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Κατασκευάστε, γεωμετρικά, ένα τρίγωνο( υπάρχουν άπειρα) με τις ακόλουθες προδιαγραφές:

1. $A - C = 90^\circ$ και

2.

Ν.

Καλημέρα και Καλή Χρονιά!

: Ένα από τα πολλά.png (12.7 KiB) Προβλήθηκε 909 φορές

Κατασκευή: Κατασκευάζω ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο AED

, με $\displaystyle{AE = ED = \frac{c}{2}}$ (όπου

το μήκος τυχαίου ευθύγραμμου
τμήματος). Ο κύκλος (A,c)

τέμνει τη μεσοκάθετο του

στο

(

εκατέρωθεν της

). Οι

τέμνονται

. Το

είναι ένα από τα τρίγωνα που ικανοποιούν τις υποθέσεις του προβλήματος.

Απόδειξη: $\displaystyle{\widehat A = B\widehat AE = B\widehat DE = {90^0} + \widehat C}$ (ως εξωτερική γωνία). Η

είναι διχοτόμος του τριγώνου και από κατασκευής $\displaystyle{AE = \frac{c}{2}}$ . Άρα: $\displaystyle{\frac{c}{2} = AE = \frac{{bc}}{{a + c}} \Leftrightarrow }$ $\boxed{2b=a+c}$ και το ζητούμενο αποδείχτηκε.

Doloros έγραψε:
Πόσες,το πολύ, ακεραίου μήκους πλευρές μπορεί να έχει αυτό το τρίγωνο ;

Τώρα αν επί πλέον είναι γνωστή η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του να υπολογίσετε τις πλευρές του ως έκφραση του .

(Στο σχήμα , ισχύουν οι προδιαγραφές, .)

Ν.

: Ένα από τα πολλά.ΙΙ.png (18.27 KiB) Προβλήθηκε 882 φορές

Στο τρίγωνο OMC

είναι $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu 2C = \frac{b}{{2R}}}$ και στο OBC

, $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu C = \frac{a}{{2R}}}$ . Από τις δύο αυτές σχέσεις παίρνουμε $\boxed{a^2=2R^2+bR}$ και από νόμο συνημιτόνων στο ABC

: $\boxed{c^2=2R^2-Rb}$

Με αφαίρεση κατά μέλη, $\displaystyle{{a^2} - {c^2} = 2Rb \Leftrightarrow (a - c)(a + c) = 2Rb\mathop \Leftrightarrow \limits^{a + c = 2b} }$ $\boxed{a-c=R}$

Τα μήκη των πλευρών c,b,a

είναι λοιπόν διαδοχικοί όροι Α. Π με διαφορά $\displaystyle{\frac{R}{2}}$ , απ' όπου τελικά βρίσκουμε ότι:

$\boxed{c = \frac{R}{2}\left( {\sqrt 7 - 1} \right),b = \frac{{R\sqrt 7 }}{2},a = \frac{R}{2}\left( {\sqrt 7 + 1} \right)}$

Από τις τιμές αυτές συμπεραίνουμε ότι το τρίγωνο μπορεί να έχει το πολύ μία πλευρά ακέραιου μήκους.

Ένα από τα πολλά

Ένα από τα πολλά

για την κατασκευή

Re: Ένα από τα πολλά

Re: Ένα από τα πολλά

Μέλη σε σύνδεση