Γεωμετρείν 103

Δημήτρης Μυρογιάννης · #1

Έστω τρίγωνο DBC

με τις γωνίες του BDC,~BCD

να έχουν μέτρο ${{40}^{0}},~{{30}^{0}}$ αντίστοιχα.

Στην προέκταση της

λαμβάνουμε σημείο

τέτοιο ώστε να είναι BA=DC

.

Δείξτε ότι το μέτρο της γωνίας BAD

είναι $x={{20}^{0}}$ .

(Μπορεί να έχει “ξαναπαίξει”… όσο το έψαξα δεν βρήκα παρά μόνο κάτι παραλλαγές.)

: GeoMetrein-103.PNG (11.31 KiB) Προβλήθηκε 1507 φορές

#2

Τριγωνομετρικά, με την επιφύλαξη αν είναι εντός ύλης (έχω χάσει τον μπούσουλα από τις συνεχείς αλλαγές).

Από τον νόμο των ημιτόνων στα BCD, ABD

, αντίστοιχα, έχουμε

$\displaystyle{\frac {BD}{\sin 30} = \frac {CD}{\sin 110},\, \frac {BD}{\sin A} = \frac {AB}{\sin 140}}$ .

Διαιρώντας κατά μέλη έπεται

$\displaystyle{\sin A = \frac {CD}{AB} \frac {\sin 30 \sin 140}{\sin 110} = \frac {1}{2} \frac { \sin 140}{\sin 70}= \frac { 2\sin 70 \cos 70}{2\sin 70}= \cos 70=\sin 20}$

Και επειδή η

είναι οξεία (είναι μικρότερη από την απέναντι εξωτερική, που είναι 40^o

), έπεται

.

Φιλικά,

Μιχάλης

#3

Δημήτρης Μυρογιάννης έγραψε:Έστω τρίγωνο με τις γωνίες του να έχουν μέτρο ${{40}^{0}},~{{30}^{0}}$ αντίστοιχα.

Στην προέκταση της λαμβάνουμε σημείο τέτοιο ώστε να είναι .

Δείξτε ότι το μέτρο της γωνίας είναι $x={{20}^{0}}$ .

(Μπορεί να έχει “ξαναπαίξει”… όσο το έψαξα δεν βρήκα παρά μόνο κάτι παραλλαγές.)

Το συνημμένο GeoMetrein-103.PNG δεν είναι πλέον διαθέσιμο

Καλησπέρα σε όλους.

: Γεωμετρείν_103.png (36.33 KiB) Προβλήθηκε 1387 φορές

Γράφουμε τον περιγεγραμμένο κύκλο του BDC

και έστω

το κέντρο του .

Προφανώς το ισοσκελές τρίγωνο KDC

είναι της μορφής $140^\circ ,20^\circ ,20^\circ$ με άμεση συνέπεια το τρίγωνο KBD

να είναι ισόπλευρο.

Τα τρίγωνα $KDC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DBA$ έχουν $DC = BA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KD = DB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,D\widehat KC = B\widehat DA = 140^\circ$ ,

οπότε είναι ίσα ( έμμεσο κριτήριο ισότητας τριγώνων) . Άρα και το DBA

είναι της μορφής $140^\circ ,20^\circ ,20^\circ$ .

Φιλικά Νίκος

Δημήτρης Μυρογιάννης · #4

Ευχαριστώ τον κ.Μιχάλη και τον Νίκο για την ενασχόληση.

Να τονίσουμε Νίκο ότι τα "έμμεσα" κριτήρια έχουν ακριβώς τη λογική των κριτηρίων των ορθογωνίων τριγώνων.
Όσον αφορά την περίπτωση εδώ θα πούμε πιο συγκεκριμένα:
"Τα δύο αμβλυγώνια τρίγωνα είναι ίσα αφού έχουν ίσες τις αμβλείες γωνίες αλλά και δύο αντίστοιχες πλευρές ίσες.
(Δεν μπορούμε να θεωρήσουμε ίσες τη μεγάλη πλευρά με μία από τις δύο μικρές, όπως φαίνεται στο συνημμένο .GGB .)

Η λύση που ακολουθεί είναι στο ίδιο στυλ με του Νίκου:

Φέρουμε το ισόπλευρο CDE

και συγκρίνουμε τα (αμβλυγώνια) τρίγωνα ADB,DEB

,

αφού πρώτα διαπιστώσουμε τη μεσοκάθετο

...

: GeoMetrein-103-Lysis.PNG (23.09 KiB) Προβλήθηκε 1334 φορές

#5

Καλησπέρα .

Για τους μαθητές που πιθανόν δεν το έχουν υπ όψιν τους (αφού δεν διδάσκεται πλέον.)

Έμμεσο κριτήριο Ισότητας τριγώνων.

: Εμμεσο κριτήριο ισότητας τριγώνων.png (17.48 KiB) Προβλήθηκε 1295 φορές

Στην παλιά σχολική Γεωμετρία των Δ. Παπαμιχαήλ –Α Σκιαδά έκδοση 1986

στην σελίδα

υπάρχει το θεώρημα ΙΙ το οποίο και αντιγράφω :

Αν δύο τρίγωνα έχουν ίσες μία προς μία δύο πλευρές τους και τις γωνίες που βρίσκονται απέναντι από το ένα ζεύγος των ίσων πλευρών ,

τότε έχουν τις γωνίες που βρίσκονται απέναντι από το άλλο ζεύγος των ίσων πλευρών ή ίσες ή παραπληρωματικές .

Δηλαδή : $b = b'\,,\,\,c = c'\,,\,\,\widehat C = \widehat {C'} \Rightarrow \widehat B = \widehat {B'}$ ή $\widehat B + \widehat {B'} = 180^\circ$

Αφού κάνει την απόδειξη συμπληρώνει :

Σε πολλές περιπτώσεις διακρίνουμε από τα δεδομένα μας ότι δεν μπορεί οι γωνίες

$\widehat B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {B'}$ να είναι παραπληρωματικές , όπως π.χ. όταν οι δύο αυτές γωνίες είναι αμβλείες ή οξείες .

Τότε έχουμε οπωσδήποτε $\widehat B\, = \,\widehat {B'}$ και τα τρίγωνα είναι ίσα .

Φιλικά Νίκος

Γεωμετρείν 103

Γεωμετρείν 103

Re: Γεωμετρείν 103

Re: Γεωμετρείν 103

Re: Γεωμετρείν 103

Re: Γεωμετρείν 103

Μέλη σε σύνδεση