Ώρα εφαπτομένης 161

KARKAR · #1

: Ώρα εφαπτομένης 161.png (10.9 KiB) Προβλήθηκε 491 φορές

$\bigstar$ Στη βάση

του ισοσκελούς τρίγωνο ABC

, με γωνία κορυφής $\hat{A}=120^0$ ,

θεωρούμε σημείο

, τέτοιο ώστε : $AS=\dfrac{BC}{2}$ . Υπολογίστε την $\tan \theta$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 14, 2023 7:21 am
Ώρα εφαπτομένης 161.png $\bigstar$ Στη βάση του ισοσκελούς τρίγωνο , με γωνία κορυφής $\hat{A}=120^0$ ,

θεωρούμε σημείο , τέτοιο ώστε : $AS=\dfrac{BC}{2}$ . Υπολογίστε την $\tan \theta$ .

Με νόμο συνημιτόνου στο ABC

βρίσκω $b=a\sqrt 3$ και με νόμο ημιτόνου στο ASC:

$\displaystyle \frac{a}{{2\sin 30^\circ }} = \frac{b}{{\sin (30^\circ + \theta )}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{\sin (30^\circ + \theta )}} \Leftrightarrow \sin (30^\circ + \theta ) = \frac{1}{{\sqrt 3 }},$ απ' όπου

$\displaystyle \tan (30^\circ + \theta ) = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3 + 3\tan \theta }}{{3 - \sqrt 3 \tan \theta }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \tan \theta = \frac{{3 - \sqrt 6 }}{{3\sqrt 2 + \sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 \left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)}}{{\sqrt 3 \left( {\sqrt 6 + 1} \right)}}$

και τελικά $\boxed{ \tan \theta = \frac{1}{5}\left( {4\sqrt 2 - 3\sqrt 3 } \right)}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 14, 2023 7:21 am
Ώρα εφαπτομένης 161.png $\bigstar$ Στη βάση του ισοσκελούς τρίγωνο , με γωνία κορυφής $\hat{A}=120^0$ ,

θεωρούμε σημείο , τέτοιο ώστε : $AS=\dfrac{BC}{2}$ . Υπολογίστε την $\tan \theta$ .

Από ν.συνημιτόνου παίρνουμε $a=b \sqrt{3}$ κι από Π.Θ στο τρίγωνο AMS

με $AS= \dfrac{a}{2} =\dfrac{b \sqrt{3} }{2}$

και $AM= \dfrac{b}{2}$ παίρνουμε $MS= \dfrac{b \sqrt{2} }{2}$ και

$tan \phi = \dfrac{AM}{MS}= \dfrac{ \sqrt{2} }{2} \Rightarrow tan(30^0+ \theta )= \dfrac{ \sqrt{2} }{2}$ άρα

$\dfrac{ \dfrac{ \sqrt{3} }{3} +tan \theta }{1- \dfrac{\sqrt{3} }{3}tan \theta }= \dfrac{ \sqrt{2} }{2}$ απ όπου $tan \theta = \dfrac{4 \sqrt{2}-3 \sqrt{3} }{5}$

: Ώρα εφαπτομένης 161.png (9.85 KiB) Προβλήθηκε 412 φορές

Ώρα εφαπτομένης 161

Ώρα εφαπτομένης 161

Re: Ώρα εφαπτομένης 161

Re: Ώρα εφαπτομένης 161

Μέλη σε σύνδεση