Κομψή συνάρτηση

KARKAR · #1

$\bigstar$ Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=\dfrac{x^2+5x+9}{x^2-5x+9}$ . α) Λύστε την εξίσωση : f(x)=3

.

β) Βρείτε

σημεία της $C_{f}$ με ακέραιες συντεταγμένες ... γ) Βρείτε το σύνολο τιμών της

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 25, 2023 9:46 am
$\bigstar$ Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=\dfrac{x^2+5x+9}{x^2-5x+9}$ . α) Λύστε την εξίσωση : .

β) Βρείτε σημεία της $C_{f}$ με ακέραιες συντεταγμένες ... γ) Βρείτε το σύνολο τιμών της .

α) $\displaystyle \frac{{{x^2} + 5x + 9}}{{{x^2} - 5x + 9}} = 3 \Leftrightarrow {x^2} - 10x + 9 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \vee x = 9$

β) Έχουμε ήδη δύο σημεία, A(1,3), B(9,3)

και ένα φανερό C(0,1).

Τα άλλα δύο είναι D(4,9), E(3,11).

γ) $\displaystyle \frac{{{x^2} + 5x + 9}}{{{x^2} - 5x + 9}} = y \Leftrightarrow (y - 1){x^2} - 5(y + 1)x + 9(y - 1) = 0$ και για y=1

είναι

Έστω $y\ne 1.$ Τότε θα πρέπει $\displaystyle \Delta \geqslant 0 \Leftrightarrow 25{(y + 1)^2} - 36{(y - 1)^2} \geqslant 0 \Leftrightarrow (11y - 1)( - y + 11) \geqslant 0$

Άρα το σύνολο τιμών της συνάρτησης είναι το $\displaystyle \left[ {\frac{1}{{11}},11} \right]$

Σημείωση: Το σημείο

το βρήκα υπολογίζοντας πρώτα το σύνολο τιμών. Το

με δοκιμή.

#3

Στο ερώτημα β) μπορούμε να βρούμε όλα τα σημεία με ακέραιες συντεταγμένες.

Είναι

$\displaystyle{y=1+\frac{10x}{x^2-5x+9}}$

οπότε πρέπει $\displaystyle{\frac{10x}{x^2-5x+9}\in \mathbb{Z}}$ , άρα $\displaystyle{x^2-5x+9\leq 10|x|}$ ή $\displaystyle{x=0}$

Εύκολα βλέπουμε ότι οι λύσεις της ανίσωσης είναι οι $\displaystyle{x\in \left[\frac{15-3\sqrt{21}}{2},\frac{15+3\sqrt{21}}{2}\right]}$ , οπότε τελικά

$\displaystyle{0\leq x\leq 14.}$ Με έλεγχο βρίσκουμε ότι οι μόνες ακέραιες λύσεις είναι αυτές που έγραψε παραπάνω ο Γιώργος, καθώς και η $\displaystyle{(6,5).}$

Κομψή συνάρτηση

Κομψή συνάρτηση

Re: Κομψή συνάρτηση

Re: Κομψή συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση