Ρητή εξίσωση

KARKAR · #1

Λύστε την εξίσωση : $\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)^2+\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)^2=18$

Tolaso J Kos · #2

Καταρχάς πρέπει $x\neq \pm 1$ . Θέτουμε $\displaystyle y = \frac{x+1}{x-1}$ . Άρα,

$\displaystyle{\begin{aligned} y^2 + \frac{1}{y^2} = 18 & \Leftrightarrow y^4 + 1 = 18y^2 \\ &\Leftrightarrow y^4 -18y^2 +1 =0 \\ &\!\!\!\!\!\overset{\omega=y^2}{\Leftarrow \! =\! =\! \Rightarrow } \omega^2 - 18 \omega + 1 =0 \\ &\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \omega & = & 9 - 4\sqrt{5} \\ \omega & = & 9 + 4\sqrt{5} \end{matrix}\right. \\ &\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \omega & = & \left( \sqrt{5} - 2 \right)^2 \\ \omega & = & \left( \sqrt{5} + 2 \right)^2 \end{matrix}\right. \end{aligned}}$
Και οι δύο λύσεις είναι δεκτές.

Για $\omega=9-4\sqrt{5}$ είναι $y= \pm (\sqrt{5} - 2 )$
Για $\omega=9+4\sqrt{5}$ είναι $y = \pm (\sqrt{5} + 2)$ .

Τέλος, $\displaystyle{x = - \frac{1+ \sqrt{5}}{2} \; , \; x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \;, \; x = \frac{\sqrt{5}-1}{2}\;,\; x = \frac{\sqrt{5}+1}{2}}$ .

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Απρ 28, 2023 10:47 am
Λύστε την εξίσωση : $\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)^2+\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)^2=18$

Θέτω $\displaystyle \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = t$ και η εξίσωση γράφεται:

$\displaystyle {t^2} + \frac{1}{{{t^2}}} = 18 \Leftrightarrow {t^4} - 18{t^2} + 1 = 0 \Leftrightarrow t = \pm \sqrt {9 + 4\sqrt 5 }$ ή $t = \pm \sqrt {9 - 4\sqrt 5$

Έχουμε λοιπόν $\displaystyle t = 2 + \sqrt 5$ ή $\displaystyle t = -2 -\sqrt 5$ ή $\displaystyle t = 2 - \sqrt 5$ ή $\displaystyle t = -2 + \sqrt 5$ και με αντικατάσταση

$\displaystyle x = \varphi$ ή $\displaystyle x = -\varphi$ ή $\displaystyle x = \frac{1}{\varphi }$ ή $\displaystyle x = -\frac{1}{\varphi },$ όπου $\displaystyle \varphi = \frac{{\sqrt 5 + 1}}{2}$

Με πρόλαβε ο Τόλης. Το αφήνω για τον κόπο.

#4

Αλλιώς.

$\displaystyle {\left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}} + \frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right)^2} - 2 = 18 \Leftrightarrow 4{\left( {\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} - 1}}} \right)^2} = 20 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} - 1}} = \pm \sqrt 5 ,$ κλπ.

Ρητή εξίσωση

Ρητή εξίσωση

Re: Ρητή εξίσωση

Re: Ρητή εξίσωση

Re: Ρητή εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση