Βαθιές ρίζες

KARKAR · #1

Για τις διάφορες τιμές του $a \in \mathbb{R}$ , να λυθεί η εξίσωση :

$\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=a$

ohgreg · #2

Θέτουμε $b=\sqrt{x-1}$ , με $b\geq0$ και $x\geq1$ :

$\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=\sqrt{b^2+1+3-4b}+\sqrt{b^2+1-2b}=$

$=\sqrt{(b-2)^2}+\sqrt{(b-1)^2}=|b-2|+|b-1|=a$

Παρατηρούμε:

$a=|b-2|+|b-1|=|2-b|+|b-1|\geq|2-b+b-1|=1$ ,

με ισότητα να ισχύει για:

$(b-2)(1-b)\geq0\Leftrightarrow 1\leq b\leq2 \Leftrightarrow 1\leq\sqrt{x-1}\leq2 \Leftrightarrow 2\leq x\leq5$

Τώρα για b>2

:

$2b-3=a \Leftrightarrow b=\frac{a+3}{2}\Rightarrow x=\frac{(a+3)^2}{4}+1$ , για $\:\: \frac{a+3}{2}>2 \Leftrightarrow a>1$

Και για $0\leq b<1$ :

$-2b+3=a\Leftrightarrow b=\frac{3-a}{2}\Rightarrow x=\frac{(3-a)^2}{4}+1$ , για $0< \frac{3-a}{2}\leq 1\Leftrightarrow 1< a\leq 3$

Τελικά για $a=1\Rightarrow x\in[2,5]$ ,

για $1<a\leq3\Rightarrow x=\frac{(a+3)^2}{4}+1$ ή $\frac{(3-a)^2}{4}+1$ ,

και για $a>3\Rightarrow x=\frac{(a+3)^2}{4}+1$

orestisgotsis · #3

Περιττό

KARKAR · #4

: Βαθιές ρίζες.png (10.72 KiB) Προβλήθηκε 621 φορές

Μπορείτε να δείτε το πλήθος των ριζών ανάλογα με το

, στο παρατιθέμενο σχήμα .

Βαθιές ρίζες

Βαθιές ρίζες

Re: Βαθιές ρίζες

Re: Βαθιές ρίζες

Re: Βαθιές ρίζες

Μέλη σε σύνδεση