Δίπλο-παραμετρική ανίσωση

Al.Koutsouridis · #1

Να βρείτε όλες τις τιμές των παραμέτρων a, b

, για τις οποίες η ανίσωση

$a^3x^4 +2ax^3+b \leq 2bx^2+b^3x+a$

ικανοποιείται για όλα τα

του διαστήματος [0, 1]

.

Maria-Eleni Nikolaou · #2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 01, 2022 3:30 pm
Να βρείτε όλες τις τιμές των παραμέτρων , για τις οποίες η ανίσωση

$a^3x^4 +2ax^3+b \leq 2bx^2+b^3x+a$

ικανοποιείται για όλα τα του διαστήματος .

Για

έχουμε: $b\leq a \Leftrightarrow a-b \geq 0$ (1)

Για x=1

έχουμε: $a^3+2a+b\leq 2b+b^3+a\Leftrightarrow a^3-b^3+a-b\leq 0\Leftrightarrow (a-b)(a^2+ab+b^2+1)\leq 0$ (2)

Λόγω της (1) η (2) δίνει: a=b

. Οπότε έχουμε την ανίσωση:

$a^3x^4+2ax^3-2ax^2-a^3x\leq 0 \Leftrightarrow ax(x-1)\left [ (x^2+x+1)a^2+2x \right ]\leq 0$

Επειδή $x\in[0,1]$ είναι $x\geq 0$ και $\left [ (x^2+x+1)a^2+2x \right ]\geq 0$ , ενώ $x-1 \leq 0$ . Οπότε πρέπει: $a\geq 0$ .

Επομένως: $\boxed{a=b\geq 0}$

Δίπλο-παραμετρική ανίσωση

Δίπλο-παραμετρική ανίσωση

Re: Δίπλο-παραμετρική ανίσωση

Μέλη σε σύνδεση