Άρρητη ανίσωση

Συντονιστής: exdx

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1429
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Άρρητη ανίσωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Τετ Ιουν 07, 2017 11:18 pm

Να λυθεί στους πραγματικούς η ανίσωση

\displaystyle{{x^2} + 13 + 3\sqrt {{x^3} + 2x - 3}  \ge 9x}


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
apotin
Δημοσιεύσεις: 831
Εγγραφή: Τετ Απρ 08, 2009 5:53 pm

Re: Άρρητη ανίσωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από apotin » Πέμ Ιουν 08, 2017 10:37 pm

exdx έγραψε:Να λυθεί στους πραγματικούς η ανίσωση

\displaystyle{{x^2} + 13 + 3\sqrt {{x^3} + 2x - 3}  \ge 9x}
Έστω \displaystyle{{x^2} + 13 + 3\sqrt {{x^3} + 2x - 3}  \geqslant 9x\;\;\;\left( 1 \right)}

Πρέπει

\displaystyle{{x^3} + 2x - 3 \geqslant 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 3} \right) \geqslant 0 \Leftrightarrow x \geqslant 1}

Τότε

\displaystyle{\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left( {{x^2} + x + 3} \right) + 3\sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 3} \right)}  \geqslant 10\left( {x - 1} \right)}

Θέτω

\displaystyle{{x^2} + x + 3 = a > 0} και \displaystyle{x - 1 = b \geqslant 0}

και έχω

\displaystyle{a + 3\sqrt {ab}  \geqslant 10b \Leftrightarrow {\left( {\sqrt a } \right)^2} + 3\sqrt b \sqrt a  - 10b \geqslant 0 \Leftrightarrow }
\displaystyle{\left( {\sqrt a  + 5\sqrt b } \right)\left( {\sqrt a  - 2\sqrt b } \right) \geqslant 0 \Leftrightarrow \sqrt a  - 2\sqrt b  \geqslant 0 \Leftrightarrow }
\displaystyle{a \geqslant 4b \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 7 \geqslant 0} που ισχύει

Άρα η \displaystyle{(1)} ισχύει για κάθε \displaystyle{x \geqslant 1}


Αποστόλης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης