Άρρητη ανίσωση

#1

Να λυθεί στους πραγματικούς η ανίσωση

$\displaystyle{{x^2} + 13 + 3\sqrt {{x^3} + 2x - 3} \ge 9x}$

apotin · #2

exdx έγραψε:Να λυθεί στους πραγματικούς η ανίσωση

$\displaystyle{{x^2} + 13 + 3\sqrt {{x^3} + 2x - 3} \ge 9x}$

Έστω $\displaystyle{{x^2} + 13 + 3\sqrt {{x^3} + 2x - 3} \geqslant 9x\;\;\;\left( 1 \right)}$

Πρέπει

$\displaystyle{{x^3} + 2x - 3 \geqslant 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 3} \right) \geqslant 0 \Leftrightarrow x \geqslant 1}$

Τότε

$\displaystyle{\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left( {{x^2} + x + 3} \right) + 3\sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 3} \right)} \geqslant 10\left( {x - 1} \right)}$

Θέτω

$\displaystyle{{x^2} + x + 3 = a > 0}$ και $\displaystyle{x - 1 = b \geqslant 0}$

και έχω

$\displaystyle{a + 3\sqrt {ab} \geqslant 10b \Leftrightarrow {\left( {\sqrt a } \right)^2} + 3\sqrt b \sqrt a - 10b \geqslant 0 \Leftrightarrow }$
$\displaystyle{\left( {\sqrt a + 5\sqrt b } \right)\left( {\sqrt a - 2\sqrt b } \right) \geqslant 0 \Leftrightarrow \sqrt a - 2\sqrt b \geqslant 0 \Leftrightarrow }$
$\displaystyle{a \geqslant 4b \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 7 \geqslant 0}$ που ισχύει

Άρα η $\displaystyle{(1)}$ ισχύει για κάθε $\displaystyle{x \geqslant 1}$

Άρρητη ανίσωση

Άρρητη ανίσωση

Re: Άρρητη ανίσωση

Μέλη σε σύνδεση