Τριγωνομετρικοεκθετική εξίσωση

hlkampel · #1

Να λυθεί η εξίσωση:

$\displaystyle{2\sigma \upsilon \nu \frac{x}{3} = {2^x} + {2^{ - x}}}$

stavros11 · #2

Για κάθε $\displaystyle{a \in \mathbb{R}_{+}}$ ισχύει:
$\displaystyle{(a-1)^2\geq 0\Rightarrow a^2+1\geq 2a\Rightarrow a+\frac{1}{a}\geq 2}$ .

Αφού $\displaystyle{2^x>0 \; \forall \; x \in \mathbb{R}}$

Ισχύει $\displaystyle{2^x+2^{-x}=2^x+(2^x)^{-1}=2^x+\frac{1}{2^x}\geq 2 \;\; (1)}$ .

Άρα $\displaystyle{2\cos\frac{x}{3}\geq 2}$ .
Όμως είναι γνωστό ότι $\displaystyle{\cos\frac{x}{3} \in [-1,1]\Rightarrow 2\cos\frac{x}{3} \in [-2,2]}$ .

Άρα για να ισχύουν και τα δύο πρέπει:
$\displaystyle{2\cos\frac{x}{3}=2 \;\; (2)}$

Άρα πρέπει να ισχύει ισότητα στην $\displaystyle{(1)}$ που ισχύει μόνο αν $\displaystyle{2^x=1 \Rightarrow x=0}$ . Αντικαθιστώντας βλέπουμε ότι ισχύει και η $\displaystyle{(2)}$ . Άρα μοναδική λύση είναι η $\displaystyle{x=0}$ .

Τριγωνομετρικοεκθετική εξίσωση

Τριγωνομετρικοεκθετική εξίσωση

Re: Τριγωνομετρικοεκθετική εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση