Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

#61

Αφού ξεπέρασες το 20 συνεχίζουμε....
Ασκηση 22

Έχουμε 50 κιβώτια μέσα στα οποία τοποθετούμε αριθμημένες μπάλες ως εξής. Στο πρώτο κιβώτιο τη μπάλα με τον αριθμό 1 στο δεύτερο τις μπάλες {2,3} στο τρίτο τις μπάλες {4,5,6} στο τέταρτο τις μπάλες {7,8,9,10} κ.ο.κ.
i.Να βρεθεί πόσες μπάλες έχει το ν-οστό κιβώτιο.
ii.Να δειχτεί ότι στο v-στό κιβώτιο η μπάλα με τον μικρότερο αριθμό είναι αυτή με τον αριθμό $x = \frac{\nu \cdot (\nu -1)}{2} + 1$ ενώ εκείνη με το μεγαλύτερο είναι που έχει τον αριθμό $x = \frac{\nu \cdot (\nu +1)}{2}$
iii.Σε ποιο κιβώτιο βρίσκεται η μπάλα με τον αριθμό 100;
iv.Πόσες μπάλες έχουμε συνολικά;

Δεν θυμάμαι που την βρήκα
Ώρα για μπάλα

Χρήστος

#62

xr.tsif έγραψε: Ασκηση 22

Έχουμε 50 κιβώτια μέσα στα οποία τοποθετούμε αριθμημένες μπάλες ως εξής. Στο πρώτο κιβώτιο τη μπάλα με τον αριθμό 1 στο δεύτερο τις μπάλες {2,3} στο τρίτο τις μπάλες {4,5,6} στο τέταρτο τις μπάλες {7,8,9,10} κ.ο.κ.
i.Να βρεθεί πόσες μπάλες έχει το ν-οστό κιβώτιο.
ii.Να δειχτεί ότι στο v-στό κιβώτιο η μπάλα με τον μικρότερο αριθμό είναι αυτή με τον αριθμό $x = \frac{\nu \cdot (\nu -1)}{2} + 1$ ενώ εκείνη με το μεγαλύτερο είναι που έχει τον αριθμό $x = \frac{\nu \cdot (\nu +1)}{2}$
iii.Σε ποιο κιβώτιο βρίσκεται η μπάλα με τον αριθμό 100;
iv.Πόσες μπάλες έχουμε συνολικά;

Η ακολουθία που δείχνει το πόσες μπάλες υπάρχουν σε κάθε κιβώτιο ,είναι αριθμητική πρόοδος με πρώτο όρο το 1 και διαφορά πάλι το 1

άρα οι μπάλες που υπάρχουν στο ν-οστό κιβώτιο είναι ν

με πρώτη $x=S_{\nu-1}+1$ και τελευταία την $y=S_{\nu},\,\, S_{\nu}=\frac{\nu(\nu+1)}{2}$

για να βρούμε σε ποιό κιβώτιο βρίσκεται η μπάλα με τον αριθμό 100 ,λύνουμε την $x\leq 100 \leq y \Longrightarrow S_{\nu-1}+1\leq 100 \leq S_{\nu}\Longrightarrow$ και βρίσκουμε $\nu=14$

οι μπάλες που έχουμε συνολικά είναι ,ο αριθμός που έχει η τελευταία μπάλα στο κιβώτιο με το νούμερο 50,δηλαδή $y=S_{50}=1275$

Ιστοσελίδα · #63

Καλησπέρα
Προσθέτω μια ακόμα άσκηση για τη συλλογή και αυτή από το βιβλίο του Πολύδωρου Γεωργιακάκη
Άσκηση 23
Αν a_1,a_2,...,a_v

είναι -μη μηδενικοί- διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, να αποδείξετε ότι $\frac{1}{a_1a_2}+\frac{1}{a_2a_3}+\frac{1}{a_3a_4}+...+\frac{1}{{a_{v - 1} a_v }} = \frac{{v - 1}}{{a_1 a_v }}$
Μίλτος

#64

m.pαpαgrigorakis έγραψε:Καλησπέρα
Προσθέτω μια ακόμα άσκηση για τη συλλογή και αυτή από το βιβλίο του Πολύδωρου Γεωργιακάκη
Άσκηση 23
Αν είναι -μη μηδενικοί- διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, να αποδείξετε ότι $\frac{1}{a_1a_2}+\frac{1}{a_2a_3}+\frac{1}{a_3a_4}+...+\frac{1}{{a_{v - 1} a_v }} = \frac{{v - 1}}{{a_1 a_v }}$
Μίλτος

Μίλτο την έχουμε συζητήσει

...ΕΔΩ... θα την προσθέσουμε και αυτή στη συλλογή μας

#65

Άσκηση 24(;)

Αν το άθροισμα των p πρώτων διαδοχικών όρων μιας αριθμητικής προόδου είναι q και το άθροισμα των q πρώτων διαδοχικών όρων της ίδιας είναι p , τότε να βρεθεί το άθροισμα των p+q πρώτων και διαδοχικών όρων σε συνάρτηση με τα p,q.(p,q φυσικοί αριθμοί)

Ιστοσελίδα · #66

Φωτεινή έγραψε:
m.pαpαgrigorakis έγραψε:Καλησπέρα
Προσθέτω μια ακόμα άσκηση για τη συλλογή και αυτή από το βιβλίο του Πολύδωρου Γεωργιακάκη
Άσκηση 23
Αν είναι -μη μηδενικοί- διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, να αποδείξετε ότι $\frac{1}{a_1a_2}+\frac{1}{a_2a_3}+\frac{1}{a_3a_4}+...+\frac{1}{{a_{v - 1} a_v }} = \frac{{v - 1}}{{a_1 a_v }}$
Μίλτος
Μίλτο την έχουμε συζητήσει ...ΕΔΩ... θα την προσθέσουμε και αυτή στη συλλογή μας

Συγνώμη από την Κωνσταντίνα αλλά δεν το ήξερα.

Να αντικαταστήσω λοιπόν την άσκηση αυτή, με την παρακάτω-από το ίδιο βιβλίο-

Άσκηση 23

Για τους πραγματικούς αριθμούς α,β ισχύει ότι |α|<1 και |β|<1.
Αν είναι S_1=1+a+a^2+a^3+...

(άπειροι όροι) , S_2=1+b+b^2+b^3+...

(άπειροι όροι) , και S=1+ab+a^2b^2+a^3b^3+...

(άπειροι όροι), να αποδείξετε ότι $S = \frac{{S_1 S_2 }}{{S_1 + S_2 - 1}}$

margavare · #67

Άσκηση 23

$\begin{array}{l} S_1 = \frac{1}{{1 - a}} \\ S_2 = \frac{1}{{1 - b}} \\ \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{{S_1 S_2 }}{{S_1 + S_2 - 1}} = \frac{{\frac{1}{{1 - a}} \cdot \frac{1}{{1 - b}}}}{{\frac{1}{{1 - a}} + \frac{1}{{1 - b}} - 1}} = \\ \frac{1}{{1 - b + 1 - a - (1 - b - a + ab)}} = \frac{1}{{1 - ab}} = S \\ \end{array}$

#68

m.pαpαgrigorakis έγραψε:
Άσκηση 25

Για τους πραγματικούς αριθμούς α,β ισχύει ότι |α|<1 και |β|<1.
Αν είναι (άπειροι όροι) , (άπειροι όροι) , και (άπειροι όροι), να αποδείξετε ότι $S = \frac{{S_1 S_2 }}{{S_1 + S_2 - 1}}$

στα

έχουμε αθροίσματα άπειρων όρων γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο σε όλες το 1 και λόγους a,b,ab

αντίστοιχα όπου |a|,|b|,|ab|<1

άρα $\displaystyle{S_1=\frac{1}{1-a}\Longrightarrow a=\frac{S_1-1}{S_1},\,\,\ \ \ ,S_2=\frac{1}{1-b}\Longrightarrow b=\frac{S_2-1}{S_2},\,\,}$

$\displaystyle{S=\frac{1}{1-ab}\Longrightarrow...\Longrightarrow S=\frac{S_1.S_2}{S_1+S_2-1}$

βλέπω έχει απαντήσει και η Μαργαρίτα,διαφέρουμε λίγο οπότε δε διαγράφω την απάντησή μου

#69

έδωσα ΝΟ 25 στην άσκηση του Μίλτου και ΝΟ 24 στην προηγούμενη που πρότεινε ο Χρήστος

όταν απαντηθούν όλες όσες έχουμε προτείνει ,θα κλείσουμε τον κύκλο του κεφαλαίου,

θα τις συγκεντρώσω σε ένα word ,να τις έχουμε στο αρχείο

και θα φύγουμε για άλλο κεφάλαιο

σας ευχαριστώ όλους πάρα πολύ !!!

#70

Στέλιος Μαρίνης έγραψε:Μια μάλλον απλή. Κρίνεις εσύ αν αξίζει να μπει στον κατάλογο:

Άσκηση-18-
Αν τα αθροίσματα αντίστοιχα των δύο, τριών και πέντε πρώτων όρων μιας αριθμητικής προόδου είναι διαδοχικοί όροι μιας μη σταθερής γεωμετρικής προόδου της οποίας ο 6ος όρος είναι 96, να βρεθεί ο 10ος όρος της.

Στέλιο καλησπέρα,

μήπως πρέπει να μας δώσεις κάτι ακόμα στην άσκηση;;;; ή κάτι διαφορετικό..ίσως ;;;;

#71

chris_gatos έγραψε:Άσκηση 24

Αν το άθροισμα των p πρώτων διαδοχικών όρων μιας αριθμητικής προόδου είναι q και το άθροισμα των q πρώτων διαδοχικών όρων της ίδιας είναι p , τότε να βρεθεί το άθροισμα των p+q πρώτων και διαδοχικών όρων σε συνάρτηση με τα p,q.(p,q φυσικοί αριθμοί)

η λύση που έχω ,δεν είναι και η πιο κομψή...γιατί έχει αρκετές πράξεις

έστω $a_1,\,\,\,w$ ο πρώτος όρος και η διαφορά της προόδου αντίστοιχα, τότε έχουμε

$\bullet \,\,\,\displaystyle{S_p=q\Longrightarrow \frac{p}{2}\Big(2a_1+(p-1)w\Big)=q\Longrightarrow 2a_1+(p-1)w=\displaystyle\frac{2q}{p},\ \ \ (1)$

$\bullet \,\,\,\displaystyle{S_q=p\Longrightarrow \frac{q}{2}\Big(2a_1+(q-1)w\Big)=p\Longrightarrow 2a_1+(q-1)w=\displaystyle\frac{2p}{q},\,\,\ (2)}$

$\bullet \,\,\,\displaystyle{(2)-(1)\Longrightarrow \dots \Longrightarrow w=\frac{-2(p+q)}{pq},\,\,\ (3)}$

$\bullet \,\,\,\displaystyle{(1)\stackrel{(3)} \Longrightarrow \dots \Longrightarrow 2.a_1=\frac{2(p^2+q^2)-2(p+q)+2pq}{pq}},\,\,\ (4)$

$\bullet\,\,\,\, \displaystyle{S_{p+q}=\frac{p+q}{2}\Big(2a_1+(p+q-1)w\Big)\stackrel{(3),(4)}\Longrightarrow \dots \Longrightarrow S_{p+q}=-(p+q)}$

#72

Στέλιος Μαρίνης έγραψε: Άσκηση-18-
Αν τα αθροίσματα αντίστοιχα των δύο, τριών και πέντε πρώτων όρων μιας αριθμητικής προόδου είναι διαδοχικοί όροι μιας μη σταθερής γεωμετρικής προόδου της οποίας ο 6ος όρος είναι 96, να βρεθεί ο 10ος όρος της.

Στέλιο ,πολλές οι πράξεις...δεν ξέρω αν έχεις κάτι πιο σύντομο,

δίνω την απάντησή μου ,για να κλείσει ο κύκλος αυτών των ασκήσεων

έστω a_1,w

ο πρώτος όρος και η διαφορά της προόδου αντίστοιχα ,τότε έχουμε

$S_2=2a_1+w,\,\, S_3=3(a_1+w),\,\,\ S_5=5(a_1+2w),\,\,$ ,

αφού είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου τότε $S_3^{2}=S_2.S_5 \Longrightarrow ...\Longrightarrow a_1^{2}+7a_1w+w^2=0,\,\,(1)$

έστω λ ,ο λόγος της γεωμετρικής προόδου,τότε $\displaystyle{\lambda=\frac{S_3}{S_3}\Longrightarrow \lambda=\frac{3(a_1+w)}{2a_1+w}\Longrightarrow a_1=\frac{w(\lambda-3)}{(3-2\lambda)},\,\,\lambda \neq \frac{3}{2},\,\, (2)}$ ,

$\displaystyle{(1)\stackrel{(2)}\Longrightarrow ...\Longrightarrow \lambda=\frac{5\pm \sqrt{5}}{2}}$

τώρα για τη γεωμετρική πρόοδο

$b_6=96\longrightarrow b_1\cdot \lambda^5=96,\,\,\,(3),$

$b_{10}=b_1\cdot \lambda^9,\,\,(4),$

από (3),(4)---> $b_{10}=96.\lambda^4$

-----
αν $\lambda =\frac{3}{2}\longrightarrow b_{10}=96.\lambda^4$

#73

Μίλτο ,νομίζω είδα χθες βράδυ ,απάντησή σου στην άσκηση-2- αλλά τώρα δεν τη βρίσκω,

... ... τι είδαν τα ματάκια μου;...

#74

Φωτεινή έγραψε:
m.pαpαgrigorakis έγραψε: Δίνω και εγώ μια άσκηση στο ίδιο "πνεύμα". Κάποιοι ίσως τη θυμηθούν...

Άσκηση-8-

Δίνεται η εξίσωση: $(\alpha + 1)x^3 - (\alpha ^2 + 5\alpha - 5)x^2 + (\alpha ^2 + 5\alpha - 5)x - (\alpha + 1) = 0,\,\,\alpha \in R - \{ - 1\}$ .
Α) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή της παραμέτρου α η εξίσωση έχει ρίζες που αποτελούν γεωμετρική πρόοδο.
Β) Αν παραστήσουμε με τη ρίζα της εξίσωσης που δεν εξαρτάται από την παράμετρο α , προσδιορίστε τότε το α ώστε οι ρίζες να αποτελούν αριθμητική πρόοδο.
Γ) Να αποδείξετε ότι για τις τιμές της παραμέτρου α που βρήκατε στην προηγούμενη ερώτηση η εξίσωση έχει τρεις ίσες ρίζες.
Μίλτος

Λοιπόν, παιδιά, ήμουν παρών!

Ιστοσελίδα · #75

Φωτεινή έγραψε:Μίλτο ,νομίζω είδα χθες βράδυ ,απάντησή σου στην άσκηση-2- αλλά τώρα δεν τη βρίσκω,

... ... τι είδαν τα ματάκια μου;...

Φωτεινή δεν θυμάμαι να έστειλα λύση για την άσκηση 2. Σκεφτόμουνα μάλιστα να σου στείλω pm επειδή κάτι δεν καταλάβαινα στην εκφώνησή της !
Μίλτος

#76

Ας δούμε και αυτή

ΑΣΚΗΣΗ 26
Σε γεωμετρική πρόοδο $\alpha _{\nu }$ να δειχτεί ότι:
$(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+...+a_{\nu -1}^{2})(a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+...+a_{\nu}^{2})=(\alpha _{1}\alpha _{2}+\alpha _{2}\alpha _{3}+...+\alpha _{\nu -1}\alpha _{\nu })^2$ , $\nu \succeq 2$

Broly · #77

Στην άσκηση 26,δεν είναι καθαρή εφαρμογή της Cauchy-Schwarz αυτή η ανισότητα?
Άρα θα ισχύει για όλους τους πραγματικούς αριθμούς a_1,a_2,...,a_n

.

#78

Broly έγραψε:Στην άσκηση 26,δεν είναι καθαρή εφαρμογή της Cauchy-Schwarz αυτή η ανισότητα?
Άρα θα ισχύει για όλους τους πραγματικούς αριθμούς .

Σωστή η παρατήρηση.
Ζητάμε λύση με άλγεβρα Β Λυκείου.

Broly · #79

Μία λύση λοιπόν πάνω στα πλαίσια της ύλης της Β' λυκείου είναι:

Άσκηση-26
Έστω r ο λόγος της γεωμετρικής προόδου.

Το αριστερό μέλος της ζητούμενης μπορεί να γραφτεί ως εξής:

$(a_1^2+a_2^2+...+a_{n-1}^2)(a_2^2+a_3^2+...+a_n^2)=$

$(a_1^2+a_1^2r^2+...a_1^2r^{2n-4})(a_1^2r^2+a_1^2r^4+...a_1^2r^{2n-2})=$

$a_1^4r^2(1+r^2+r^4+...+r^{2n-4})^2$

Από την άλλη μεριά το δεξί μέλος δίνει:

$(a_1a_2+a_2a_3+...a_{n-1}a_n)^2=(a_1^2r+a_1^2r^3+...+a_1^2r^{2n-3})^2=$

$a_1^4r^2(1+r^2+...+r^{2n-4})^2$ .

Φαντάζομαι πως αποδεικνύεται και πιο κομψά αλλά αυτή η λύση μου ήρθε δεύτερη στο μυαλό.

#80

m.pαpαgrigorakis έγραψε: Φωτεινή δεν θυμάμαι να έστειλα λύση για την άσκηση 2. Σκεφτόμουνα μάλιστα να σου στείλω pm επειδή κάτι δεν καταλάβαινα στην εκφώνησή της !
Μίλτος

...

... πω πω ...να αρχίσω να ανησυχώ ;;;...και είμαι νέα ακόμα...

Μίλτο ,θα κοιτάξω πάλι την άσκηση το βράδυ...μήπως και κάτι δεν πηγαίνει καλά...

..

Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Μέλη σε σύνδεση