Δύο παραπάνω

KARKAR · #1

$\bigstar$ Να λυθεί το σύστημα : $\left\{\begin{matrix} 10x^2-7xy &=13 \\ & \\ 3y^2+8xy &=15 \\ \end{matrix}\right.$

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 28, 2026 7:16 pm
$\bigstar$ Να λυθεί το σύστημα : $\left\{\begin{matrix} 10x^2-7xy &=13 \\ & \\ 3y^2+8xy &=15 \\ \end{matrix}\right.$

Πολλαπλασιάζω ην πρώτη εξίσωση επί 15,

τη δεύτερη επί

και τις προσθέτω κατά μέλη, απ' όπου παίρνω:

$39y^2+209xy-150x^2=0 \Leftrightarrow$ $\boxed{y=-6x}$ ή $\boxed{y=\frac{25x}{39}}$

$\displaystyle \bullet$ Θέτω y=-6x

στην αρχική πρώτη εξίσωση και $\displaystyle 10{x^2} + 42{x^2} = 13 \Leftrightarrow x = \pm \frac{1}{2}$

Άρα έχω τις λύσεις, $\boxed{(x,y) = \left( { - \frac{1}{2}, 3} \right)}$ ή $\boxed{(x,y) = \left( { \frac{1}{2}, -3} \right)}$

$\displaystyle \bullet$ Ομοίως για ${y=\dfrac{25x}{39},$ παίρνω τις λύσεις $\boxed{(x,y) = \left( { - 13\sqrt {\frac{3}{{215}}} , - 5\sqrt {\frac{5}{{129}}} } \right)}$ ή $\boxed{(x,y) = \left( { 13\sqrt {\frac{3}{{215}}} , 5\sqrt {\frac{5}{{129}}} } \right)}$

Fotis34 · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 28, 2026 7:16 pm
$\bigstar$ Να λυθεί το σύστημα : $\left\{\begin{matrix} 10x^2-7xy &=13 \\ & \\ 3y^2+8xy &=15 \\ \end{matrix}\right.$

Ομολογώ ότι, όταν την πρωτοείδα ήθελα να την αρχίσω, αλλά δεν έβρισκα χρόνο. Τώρα που βρήκα χρόνο...

Θέτουμε xy = t

. Τότε:
$\displaystyle 10x^2 = 13 + 7t \Rightarrow x^2 = \frac{13+7t}{10}, \quad 3y^2 = 15 - 8t \Rightarrow y^2 = \frac{15-8t}{3}$

Επειδή x^2y^2 = t^2

, έχουμε:
$\displaystyle \left(\frac{13+7t}{10}\right)\left(\frac{15-8t}{3}\right)=t^2$

$\displaystyle \frac{(13+7t)(15-8t)}{30}=t^2 \Rightarrow (13+7t)(15-8t)=30t^2$

Αναπτύσσοντας:
$\displaystyle 195 + t -56t^2 = 30t^2 \Rightarrow 86t^2 - t -195 = 0$

Λύνουμε την εξίσωση:
$\displaystyle t = \frac{1 \pm 259}{172} \Rightarrow t_1=\frac{65}{43}, \quad t_2=-\frac{129}{86}$

(i) $xy=\frac{65}{43}$

$\displaystyle x^2=\frac{507}{215}, \quad y^2=\frac{125}{129}$

$\displaystyle (x,y)=\left(\sqrt{\frac{507}{215}},\sqrt{\frac{125}{129}}\right), \; \left(-\sqrt{\frac{507}{215}},-\sqrt{\frac{125}{129}}\right)$

ii) $xy=-\frac{129}{86}$

$\displaystyle x^2=\frac{1}{4}, \quad y^2=9$

$\displaystyle (x,y)=\left(\frac{1}{2},-3\right), \; \left(-\frac{1}{2},3\right)$

Άρα, έχουμε τις λύσεις:
$\displaystyle \boxed{ \left(\frac{1}{2},-3\right),\; \left(-\frac{1}{2},3\right),\; \left(\sqrt{\frac{507}{215}},\sqrt{\frac{125}{129}}\right),\; \left(-\sqrt{\frac{507}{215}},-\sqrt{\frac{125}{129}}\right) }$

Edit 9:15 μμ. Μπορούμε να απλοποιήσουμε το κλάσμα $\displaystyle{-\frac{129}{86}}$ σε $\displaystyle{-\frac{3}{2}}$ . Οι λύσεις βγαίνουν όπως στο ποστ #2. Ευχαριστώ τον κύριο Θανάση.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #4

Aς γράψω και μια τρίτη λύση, όχι εξαιρετικά πρωτότυπη, έτσι για να υπάρχει...

Eίναι βέβαιο ότι $x\neq 0$ , γιατί σε αντίθετη περίπτωση η πρώτη εξίσωση διαψεύδεται.

Έτσι λοιπόν η πρώτη εξίσωση δίνει ότι $\displaystyle y=\frac{10x^{2}-13}{7x}$

H δεύτερη εξίσωση γράφεται πλέον $\displaystyle3\cdot \frac{\left( 10x^{2}-13 \right)^{2}}{49x^{2}}+8x\cdot \frac{10x^{2}-13}{7x}=15$

η οποία μετά την απαλοιφή παρανομαστών και τις απλοποιήσεις δίνει τη διτετράγωνη εξίσωση

$860x^{4}-2243x^{2}+507=0$

oι λύσεις της οποίας είναι οι αριθμοί

$\displaystyle-\frac{1}{2},\frac{1}{2},-\sqrt{\frac{507}{215}},\sqrt{\frac{507}{215}}$

Με αντικατάσταση των τεσσάρων αυτών αριθμών στην εξίσωση $\displaystyle y=\frac{10x^{2}-13}{7x}$

βρίσκω τις αντίστοιχες τιμές του

. που είναι οι ίδιες με τις δύο προηγηθείσες λύσεις.

KARKAR · #5

Μια τεχνική για αυτού του τύπου τα συστήματα : Θέτοντας : y=mx

, παίρνουμε : $x^2=\dfrac{13}{10-7m}$

και $x^2=\dfrac{15}{3m^2+8m}$ , από όπου : m=-6

ή : $m=\dfrac{25}{39}$ και συνεχίζουμε όπως ο Γιώργος ,

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #6

Kάτι όμορφο και ενδιαφέρον είναι να γίνει μια γραφική παράσταση. Πρόκειται για δύο υπερβολές.

KARKAR · #7

: Συμμετρία.png (382.88 KiB) Προβλήθηκε 83 φορές

#8

Τα σημεία

των λύσεων είναι κορυφές παραλληλογράμμου, όπως φαίνεται και από τη γραφική παράσταση.

Δύο παραπάνω

Δύο παραπάνω

Re: Δύο παραπάνω

Re: Δύο παραπάνω

Re: Δύο παραπάνω

Re: Δύο παραπάνω

Re: Δύο παραπάνω

Re: Δύο παραπάνω

Re: Δύο παραπάνω

Μέλη σε σύνδεση