Άλλα κόλπα

KARKAR · #1

$\bigstar$ Η εξίσωση : x^4+6x^3-8x^2-18x+15=0

, δεν έχει δυστυχώς ακέραιες ρίζες .

Λύστε την χρησιμοποιώντας άλλα μαθηματικά εργαλεία , ( προφανώς όχι λογισμικό ! ) .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 19, 2026 7:23 am
$\bigstar$ Η εξίσωση : , δεν έχει δυστυχώς ακέραιες ρίζες .

Λύστε την χρησιμοποιώντας άλλα μαθηματικά εργαλεία , ( προφανώς όχι λογισμικό ! ) .

Είδαμε παρόμοια μόλις πριν από

μέρες,

εδώ

Μόνο τα νούμερα αλλάζουν. Ας το δούμε όμως με λεπτομέριες.

Γράφουμε το δοθέν ως γινόμενο δύο δευτεροβάθμιων, (x^2+ax+b)(x^2+cx+d)

. Φυσικά ισχύει bd=15

. Δοκιμάζουμε τώρα μήπως οι περιπτώσεις που τα b,d

είναι ακέραιοι, μας οδηγήσουν σε λύση. Οι περιπτώσεις αυτές είναι οι (+3)(+5)=15

ή

.

α) Περίπτωση δοκιμής: (x^2+ax+3)(x^2+cx+5)=x^4+6x^3-8x^2-18x+15

, ισοδύναμα

x^4+(a+c)x^3+(8+ac)x^3+(5a+3c)x+15= x^4+6x^3-8x^2-18x+15

Άρα $a+c=6, \, 8+ac=-8, \, 5a+3c=-18$ .

Η πρώτη και η τρίτη δίνουν $a=-18, \, c=24$ , αλλά αυτό δεν ικανοποιεί την μεσαία περίπτωση. Απορρίπτεται.

β) Περίπτωση δοκιμής: (x^2+ax-3)(x^2+cx-5)=x^4+6x^3-8x^2-18x+15

, ισοδύναμα

x^4+(a+c)x^3+(-8+ac)x^3+(-5a-3c)x+15= x^4+6x^3-8x^2-18x+15

Άρα $a+c=6, \, -8+ac=-8, \, -5a-3c=-18$ .

Η πρώτη και η τρίτη δίνουν $a=0, \, c=6$ . Aυτό ευτυχώς ικανοποιεί την μεσαία περίπτωση. Δεκτή. Δηλαδή ισχύει

(x^2-3)(x^2+6x-5)=x^4+6x^3-8x^2-18x+15

Από το αριστερό μέλος συμπεραίνουμε αμέσως τις ρίζες $\boxed {\pm \sqrt 3, \, -3\pm \sqrt {14}}$

γ,δ) Όμοια οι περιπτώσεις $(x^2+ax+1)(x^2+cx+15), \, (x^2+ax-1)(x^2+cx-15)$ δεν οδηγούν σε λύσεις.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 19, 2026 7:23 am
$\bigstar$ Η εξίσωση : , δεν έχει δυστυχώς ακέραιες ρίζες .

Λύστε την χρησιμοποιώντας άλλα μαθηματικά εργαλεία , ( προφανώς όχι λογισμικό ! ) .

$\displaystyle {x^4} + 6{x^3} - 8{x^2} - 18x + 15 = 0 \Leftrightarrow {x^4} + 6{x^3} - 8{x^2} - 18x - 9 + 24 = 0 \Leftrightarrow$

$\displaystyle ({x^4} - 9) + 6x({x^2} - 3) - 8({x^2} - 3) = 0 \Leftrightarrow ({x^2} - 3)({x^2} + 3 + 6x - 8) = 0 \Leftrightarrow$

$\displaystyle ({x^2} - 3)({x^2} + 6x - 5) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 3 = 0 \vee {x^2} + 6x - 5 = 0 \Leftrightarrow$

$\boxed{x=-\sqrt 3}$ ή $\boxed{x=\sqrt 3}$ ή $\boxed{x=-3-\sqrt {14}}$ ή $\boxed{x=-3+\sqrt {14}}$

Η πλέον ενδεδειγμένη λύση είναι του Μιχάλη, χωρίς ακροβατικά.

#4

KARKAR · #5

Η παραγοντοποίηση : x^2-8x+15=(x-3)(x-5)

, είναι σχεδόν προφανής για έναν "ψαγμένο" μαθητή . Φυσικά

εδώ τα πράγματα είναι κάπως δυσκολότερα , αλλά , Γιώργο , ο χαρακτηρισμός "ακροβατικά" , ίσως είναι υπερβολικός .

#6

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 20, 2026 11:52 am
Η παραγοντοποίηση : , είναι σχεδόν προφανής για έναν "ψαγμένο" μαθητή . Φυσικά

εδώ τα πράγματα είναι κάπως δυσκολότερα , αλλά , Γιώργο , ο χαρακτηρισμός "ακροβατικά" , ίσως είναι υπερβολικός .

Θανάση, δεν έχεις δίκιο για δύο λόγους.

Πρώτον, η παραγοντοποίηση x^2-8x+15=(x-3)(x-5)

δεν χρειάζεται ψαγμένο μαθητή. Απλά βρίσκει κανείς τις ρίζες, όπως του λέει η θεωρία, και από εκεί κάνει αμέσως την παραγοντοποίηση. Δηλαδή η διαδικασία είναι ρουτίνα. Το άλλο άκρο του ψαγμένου.

Δεύτερο και ουσιαστικότερο, και θα συμφωνήσω με τον Γιώργο Β.: Όπως έγραψα στο ποστ #3

εδώ

η προσθαφαίρεση κατάλληλων όρων ή το κατάλληλο γκρουπάρισμα όρων δίνει την εντύπωση ότι ήδη γνωρίζει κάποιος την απάντηση και την γράφει ανάποδα προσθέτοντας μερικά ενδιάμεσα βήματα. Δηλαδή είναι αδόκιμη μέθοδος αφού δεν αιτιολογεί πώς ακριβώς σκέφτηκε. Με άλλα λόγια, γνωρίζοντας την απάντηση και ανοίγοντας τις παρανθέσεις αργότερα, μπορεί κανείς να κάνει την διαδικασία ανάποδα από απλοποιημέν μορφή σε παραγοντοποιημένη. Είναι αυτό που εννοεί ο Γιιώργος Β. με την λέξη "ακροβατικά".

Για έναν έμπειρο λύτη όπως τους δύο Γιώργους, τα βήματα είναι φυσιολογικά. Πώς όμως θα δικαιολογήσεις στον μαθητή τον τρόπο σκέψης; Θα του πεις ότι έγινε με την επιφοίτηση του Αγίου Πνεύματος;

#7

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 20, 2026 11:52 am
Η παραγοντοποίηση : , είναι σχεδόν προφανής για έναν "ψαγμένο" μαθητή . Φυσικά

εδώ τα πράγματα είναι κάπως δυσκολότερα , αλλά , Γιώργο , ο χαρακτηρισμός "ακροβατικά" , ίσως είναι υπερβολικός .

Το ακροβατικά δεν το έγραψα για τη συγκεκριμένη άσκηση, αλλά γενικότερα. Έχω δει αρκετές φορές να γίνονται εξωφρενικές

μαντεψιές προκειμένου να παραγοντοποιηθεί μία παράσταση, που δηλώνουν εμμέσως πλην σαφώς, ότι ο λύτης γνωρίζει ήδη το

αποτέλεσμα (από κάποιο λογισμικό) και προσπαθεί πάση θυσία να το προσαρμόσει στην παράστασή του. Πιστεύω λοιπόν ότι η πιο

ασφαλής μέθοδος είναι αυτή του Μιχάλη.

edit: Με πρόλαβε ο Μιχάλης, γράφοντας στην ουσία τα ίδια.

Άλλα κόλπα

Άλλα κόλπα

Re: Άλλα κόλπα

Re: Άλλα κόλπα

Re: Άλλα κόλπα

Re: Άλλα κόλπα

Re: Άλλα κόλπα

Re: Άλλα κόλπα

Μέλη σε σύνδεση