Ύψος από διαμέσους

KARKAR · #1

: Αναλογία πλευρών 2.png (16.33 KiB) Προβλήθηκε 412 φορές

Ακολουθεί άσκηση Άλγεβρας , συνεπώς πρέπει να φαίνεται ο τρόπος λύσης , αλλιώς αφήστε την

Σε τρίγωνο ABC

, με $\hat{A}=60^\circ$ , γνωρίζουμε τις διαμέσους : CM=7

και : $BN=2\sqrt{7}$ .

Υπολογίστε το ύψος

του τριγώνου ( δεν εμφανίζεται στο σχήμα ) .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 23, 2024 12:23 pm
Αναλογία πλευρών 2.pngΑκολουθεί άσκηση Άλγεβρας , συνεπώς πρέπει να φαίνεται ο τρόπος λύσης , αλλιώς αφήστε την

Σε τρίγωνο , με $\hat{A}=60^\circ$ , γνωρίζουμε τις διαμέσους : και : $BN=2\sqrt{7}$ .

Υπολογίστε το ύψος του τριγώνου ( δεν εμφανίζεται στο σχήμα ) .

Με νόμο συνημιτόνων στα τρίγωνα AMC, ABN

έχω:

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} 196 = 4{b^2} - 2bc + {c^2} \hfill \\ 112 = {b^2} - 2bc + 4{c^2} \hfill \\ \end{gathered} \right.\mathop \Rightarrow \limits^{( - )} {b^2} - {c^2} = 28 \Leftrightarrow {c^2} = {b^2} - 28$ και αντικαθιστώντας στη δεύτερη εξίσωση,

: Ύψος από διαμέσους.png (12.49 KiB) Προβλήθηκε 387 φορές

$\displaystyle 5{b^2} - 224 = 2b\sqrt {{b^2} - 28} > 0,$ απ' όπου $\displaystyle {b^2} > \frac{{224}}{5}$

$\displaystyle {(5{b^2} - 224)^2} = 4{b^2}({b^{2}} - 28) \Leftrightarrow 3{b^4} - 304{b^2} + 7168 = 0 \Leftrightarrow {b^2} = \frac{{304 \pm 80}}{6}$

Η μία λύση απορρίπτεται γιατί δεν ικανοποιεί τον περιορισμό, άρα $\displaystyle {b^2} = 64 \Leftrightarrow$ $\boxed{b=8}$ και $\boxed{c=6}$

Εύκολα τώρα $\displaystyle {a^2} = {b^2} + {c^2} - bc = 52 \Leftrightarrow a = 2\sqrt {13}$

$\displaystyle \frac{1}{2}bc\sin 60^\circ = (ABC) = \frac{1}{2}ax \Leftrightarrow 24\sqrt 3 = 2x\sqrt {13} \Leftrightarrow$ $\boxed{ x = AD = 12\sqrt {\frac{3}{{13}}} }$

Ύψος από διαμέσους

Ύψος από διαμέσους

Re: Ύψος από διαμέσους

Μέλη σε σύνδεση