Λογάριθμο-ρητή με παράμετρο

Al.Koutsouridis · #1

Για ποιές τιμές της παραμέτρου

η εξίσωση

$\log_{\frac{1}{\pi}} \left ( \dfrac{a^2+4\pi^2+4}{4x-x^2 -2(a-2\pi)|x-2|+4\pi a} \right ) - \sqrt{\left (x-5a+10\pi-34 \right )\left ( |\pi -x| -a+\pi+2 \right )} = 0$

έχει τουλάχιστον μια ακέραια λύση.

Πηγή: Εισαγωγικές εξετάσεις τμήματος Υπολογιστικών Μαθηματικών & Κυβερνιτικής, Μόσχα 1989.

Maria-Eleni Nikolaou · #2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 03, 2022 2:44 pm
Για ποιές τιμές της παραμέτρου η εξίσωση

$\log_{\frac{1}{\pi}} \left ( \dfrac{a^2+4\pi^2+4}{4x-x^2 -2(a-2\pi)|x-2|+4\pi a} \right ) - \sqrt{\left (x-5a+10\pi-34 \right )\left ( |\pi -x| -a+\pi+2 \right )} = 0$

έχει τουλάχιστον μια ακέραια λύση.

Πρέπει ο λογάριθμος να είναι μη αρνητικός, οπότε αφού η βάση του είναι μικρότερη της μονάδος, το εσωτερικό του είναι

και $\leq1$ .

Έτσι, $\left ( \dfrac{a^2+4\pi^2+4}{4x-x^2 -2(a-2\pi)|x-2|+4\pi a} \right )\leq1$ . Διακρίνουμε τις περιπτώσεις για το απόλυτο:

α) Για $x\geq2$ έχουμε:

$a^2+4{\pi}^2+4\leq4x-x^2-2ax+4a+4\pi x-8\pi +4\pi a\Leftrightarrow (2\pi -x-a+2)^2\leq0\Leftrightarrow 2\pi -x-a+2=0$

Επομένως, αφού μηδενίζεται ο λογάριθμος θα πρέπει να μηδενιστεί και η ρίζα, δηλαδή:

$x-5a+10\pi -34=0 \,\,\,\,\vee \,\,\,\, \left | \pi-x \right |-a+\pi +2=0$

Οπότε προκύπτουν τα αντίστοιχα συστήματα:

1) $\left\{\begin{matrix} 2\pi-x-a+2=0 & \\ x-5a+10\pi-34=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=\dfrac{6\pi-16}{3}\,\,,\,\,\,\,x=\dfrac{22}{3}\notin\mathbb{Z}$

Για $x<\pi$ είναι:

2) $\left\{\begin{matrix} 2\pi -x-a+2=0\\ \pi -x-a+\pi+2=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow ao\rho \imath \sigma \tau o$

Οπότε, επειδή $2\leq x<\pi$ παίρνουμε τις λύσεις:
x=2

για $a=2\pi$
x=3

για $a=2\pi -1$

Για $x\geq\pi$ είναι:

3) $\left\{\begin{matrix} 2\pi -x-a+2=0 \\x-\pi-a+\pi+2=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=\pi+2\,\,,\,\,\,\ x=\pi \notin\mathbb{Z}$

β) Για x<2

έχουμε:

$a^2+4{\pi}^2+4+x^2-4x+4a-2ax-8\pi+4\pi x-4\pi a\leq0\Leftrightarrow (2\pi+x-a-2)^2\leq0\Leftrightarrow 2\pi+x-a-2=0$

Οπότε ομοίως προκύπτουν αντίστοιχα συστήματα:

1) $\left\{\begin{matrix} 2\pi +x-a-2=0\\ \pi-x-a+\pi+2=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=2\pi\,\,,\,\,\,x=2\nless 2$

2) $\left\{\begin{matrix} 2\pi+x-a-2=0\\ x-5a+10\pi-34=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=2\pi -8\,\,,\,\,\,x=-6$

Επομένως, συνολικά έχουμε τις λύσεις:

$a=2\pi\,,\,\,x=2$

$a=2\pi -1\,,\,\,x=3$

$a=2\pi -8\,,\,\,x=-6$

Al.Koutsouridis · #3

Λογάριθμο-ρητή με παράμετρο

Λογάριθμο-ρητή με παράμετρο

Re: Λογάριθμο-ρητή με παράμετρο

Re: Λογάριθμο-ρητή με παράμετρο

Μέλη σε σύνδεση