Εξίσωση 5ου βαθμού με σχήμα χορνερ

[kostasgial]

Καλησπέρα σας είμαι μαθητής Γ λυκείου και σήμερα είχα μια διαφωνία με έναν καθηγητή μου. Η εξίσωση 5ου βαθμού δε μπορεί να λυθεί με σχήμα χορνερ;

[Christos.N]

Θες να μας αναλύσεις τις σκέψεις σου;

[kostasgial]

Απλά διάβαζα τη δυσκολία των μαθηματικών να βρουν ρίζες στην εξίσωση 5ου βαθμού (πχ Γκαλουα) και στη β λυκείου κάναμε σχήμα χορνερ ακομη και για Ν-οστό βαθμό, όποτε συμπέρανα ότι λύνεται και με σχήμα χορνερ μια εξίσωση 5ου βαθμού". Ο καθηγητής μου δε μου έδωσε ξεκάθαρη απάντηση και έχω μπερδευτεί.

[KARKAR]

Αν η απάντησή σου είναι ναι , λύσε την εξίσωση :

[Ratio]

Συζητήσατε πάνω σε κάποιι συγκεκριμένο παράδειγμα;

[kostasgial]

Η συζήτηση ξεκίνησε απο αυτήν την εξίσωση και έπειτα το γενικεύσουμε για 5ου βαθμού εξισώσεις.

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

Με το σχήμα Horner δεν λύνεται καμία εξίσωση.
Το σχήμα Horner είναι ένας εύκολος τρόπος να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο
της διαίρεση .
Χρησιμοποιείται για να δοκιμάσουμε αν ενας αριθμός είναι ρίζα ενός πολυωνύμου.
Πράγμα που μπορούμε να το κάνουμε εύκολα και διαφορετικά.
(Ποτέ δεν κατάλαβα την χρησιμότητα του στα Μαθηματικά του Λυκείου)
Στην ουσία το σχήμα Horner χρησιμοποιείται στον προγραμματισμό για την εύρεση τιμής πολυωνύμου.

Για τις εξισώσεις.
Ο καθηγητής σου έχει δίκιο.
Το θέμα δεν είναι τόσο απλό ώστε να στο εξηγήσω πλήρως.
Για παράδειγμα η εξίσωση μπορεί να λυθεί
αλλά εσύ δεν μπορείς να την λύσεις γιατί δεν σου έχουν μάθει.
Υπάρχουν μέθοδοι για λύση πολυωνυμικών εξισώσεων μέχρι τετάρτου βαθμού.

[kostasgial]

Με το σχήμα Horner δεν λύνεται καμία εξίσωση.
Το σχήμα Horner είναι ένας εύκολος τρόπος να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο
της διαίρεση .
Χρησιμοποιείται για να δοκιμάσουμε αν ενας αριθμός είναι ρίζα ενός πολυωνύμου.
Πράγμα που μπορούμε να το κάνουμε εύκολα και διαφορετικά.
(Ποτέ δεν κατάλαβα την χρησιμότητα του στα Μαθηματικά του Λυκείου)
Στην ουσία το σχήμα Horner χρησιμοποιείται στον προγραμματισμό για την εύρεση τιμής πολυωνύμου.

Για τις εξισώσεις.
Ο καθηγητής σου έχει δίκιο.
Το θέμα δεν είναι τόσο απλό ώστε να στο εξηγήσω πλήρως.
Για παράδειγμα η εξίσωση μπορεί να λυθεί
αλλά εσύ δεν μπορείς να την λύσεις γιατί δεν σου έχουν μάθει.
Υπάρχουν μέθοδοι για λύση πολυωνυμικών εξισώσεων μέχρι τετάρτου βαθμού.

Μου αρεςει που με προβληματίζετε κατα αυτόν τον τροπο. Όταν έχω θα χρόνο, θα ήθελα να διαβάσω σχετικά για αυτο το θέμα. Για αυτο μήπως έχετε να μου προτείνετε κάποιο άρθρο ή κάποιο βιβλίο σχετικά με το θέμα που θίγετε;

[george visvikis]

Οι σίγουρες μέθοδοι που λύνουν μία πολυωνυμική εξίσωση, εξαντλούνται στην δευτεροβάθμια. Από εκεί και μετά, πρέπει η εξίσωση να έχει συγκεκριμένη μορφή για να λυθεί. Ο καθηγητής σου λοιπόν έχει δίκιο.

Το σχήμα Χόρνερ δεν είναι πανάκεια!

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

Στο παρακάτω βρίσκονται τα πάντα για τις εξισώσεις τρίτου βαθμού.

https://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_function

Θα περιγράψω την μέθοδο για τετάρτου.
Παραγοντοποιούμε σε δύο δευτέρου βαθμού.
Για να γίνει αυτό χρειάζεται η επίλυση μιας εξίσωσης τρίτου βαθμού.
Αν ψάξουμε στο internet θα βρούμε πως ακριβώς γίνεται καθώς και τύπο.

Συμπλήρωμα.
Εδω είναι για τετάρτου βαθμού.
https://en.wikipedia.org/wiki/Quartic_function

[Ratio]

Επίσης να προσθέσουμε ότι διδάσκεται το σχήμα Horner μόνο για τις ακέραιες ρίζες και όχι για τις κλασματικές

Να πούμε επίσης στο μαθητή ότι σε πανεπιστημιακό επίπεδο διδάσκονται μέθοδοι προσέγγισης ριζών με ακρίβεια δεκαδικών ψηφίων με τα εργαλεία της αριθμητικής ανάλυσης με αλγοριθμικη αντιστοιχιση για επίλυση σε προγραμματιστικο περιβάλλον

[Al.Koutsouridis]

Καλημέρα,

Υπάρχει ένα ενδιαφέρον βιβλίο για αυτό το θέμα αλλά, δυστυχώς είναι στα ρώσικα. Λέγεται "Θεώρημα Abel σε προβλήματα και λύσεις" (Β.Μπ.Αλεκσέεβ) μπορεί κανείς να το βρεί εδώ.

Το βιβλίο απευθύνεται σε μαθητές των τελευταίων τάξεων με ενδιαφέρον για πίο "σοβαρά" μαθηματικά, για ενασχόληση σε μαθηματικούς ομίλους κτλ.

Σε μία σειρά από 351 προβλήματα με το 351 να είναι το θέωρημα Abel. Ο συγγραφέας προσπαθεί να αναπτύξει το υπόβαθρο που χρειάζεται για να αποδειχθεί το θεώρημα Abel. Οι κύριες έννοιες που χρειάζονται είναι μερικά αποτελέσματα της θεωρίας ομάδων και μιγαδικής ανάλυσης.

Θεώρημα Abel: Δεν υπάρχει τύπος για την εύρεση των ριζών πολυωνύμου 5ου και υψηλότερου βαθμού (στην γενική του μορφή) με βάση τους συντελεστές του πολυωνύμου, χρησιμοποιώντας μόνο τις συνήθεις αλγεβρικές πράξεις πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός, διαίρεση, ύψωση σε δύναμη με εκθέτη φυσικό ή εξαγωγή ν-οστής ρίζας (ν φυσικό).



Να παραθέσω επιγραμματικά τους τίτλους των επιμέρους κεφαλαίων για να δούμε ποιές έννοιες περίπου χρειαζόμαστε

Ομάδες. Κυκλικές ομάδες, ισομορφισμοί, αυτομορφισμοί, ομομορφισμοί, υποομάδες, κανονικές ομάδες, ευθέα γινόμενα, επιλύσιμες ομάδες...

Πεδία, πεδίο μιγαδικών, γεωμετρική ερμηνεία μιγαδικών, τριγωνομετρική μορφή μιγαδικών, συνέχεια, συνέχεια καμπυλών, απεικόνιση καμπυλών, επιφάνεια Ρίμαν συνάρτησης , επιφάνεις Ρίμαν πιο περίπλοκων καμπυλών, ομάδες Γκαλουά...

[kostasgial]

Σας ευχαριστω παρά πολύ για τις απαντήσεις σας

[kostasgial]

Καλημέρα,

Υπάρχει ένα ενδιαφέρον βιβλίο για αυτό το θέμα αλλά, δυστυχώς είναι στα ρώσικα. Λέγεται "Θεώρημα Abel σε προβλήματα και λύσεις" (Β.Μπ.Αλεκσέεβ) μπορεί κανείς να το βρεί εδώ.

Το βιβλίο απευθύνεται σε μαθητές των τελευταίων τάξεων με ενδιαφέρον για πίο "σοβαρά" μαθηματικά, για ενασχόληση σε μαθηματικούς ομίλους κτλ.

Σε μία σειρά από 351 προβλήματα με το 351 να είναι το θέωρημα Abel. Ο συγγραφέας προσπαθεί να αναπτύξει το υπόβαθρο που χρειάζεται για να αποδειχθεί το θεώρημα Abel. Οι κύριες έννοιες που χρειάζονται είναι μερικά αποτελέσματα της θεωρίας ομάδων και μιγαδικής ανάλυσης.

Θεώρημα Abel: Δεν υπάρχει τύπος για την εύρεση των ριζών πολυωνύμου 5ου και υψηλότερου βαθμού (στην γενική του μορφή) με βάση τους συντελεστές του πολυωνύμου, χρησιμοποιώντας μόνο τις συνήθεις αλγεβρικές πράξεις πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός, διαίρεση, ύψωση σε δύναμη με εκθέτη φυσικό ή εξαγωγή ν-οστής ρίζας (ν φυσικό).



Να παραθέσω επιγραμματικά τους τίτλους των επιμέρους κεφαλαίων για να δούμε ποιές έννοιες περίπου χρειαζόμαστε

Ομάδες. Κυκλικές ομάδες, ισομορφισμοί, αυτομορφισμοί, ομομορφισμοί, υποομάδες, κανονικές ομάδες, ευθέα γινόμενα, επιλύσιμες ομάδες...

Πεδία, πεδίο μιγαδικών, γεωμετρική ερμηνεία μιγαδικών, τριγωνομετρική μορφή μιγαδικών, συνέχεια, συνέχεια καμπυλών, απεικόνιση καμπυλών, επιφάνεια Ρίμαν συνάρτησης , επιφάνεις Ρίμαν πιο περίπλοκων καμπυλών, ομάδες Γκαλουά...

Καταρχάς Σας ευχαριςτω για την πληρέστατη απάντηση σας.μΦαίνονται και ακούγονται όλα ιδιαίτερα γοητευτικά. Στο πανεπιστήμιο με το καλό θα έχω τον χρόνο, θέλω να πιςτευω, για να ασχοληθώ με αυτά.

[Al.Koutsouridis]

Υπάρχει ένα ενδιαφέρον βιβλίο για αυτό το θέμα αλλά, δυστυχώς είναι στα ρώσικα. Λέγεται "Θεώρημα Abel σε προβλήματα και λύσεις" (Β.Μπ.Αλεκσέεβ) μπορεί κανείς να το βρεί εδώ.

Το βιβλίο απευθύνεται σε μαθητές των τελευταίων τάξεων με ενδιαφέρον για πίο "σοβαρά" μαθηματικά, για ενασχόληση σε μαθηματικούς ομίλους κτλ.

Σε μία σειρά από 351 προβλήματα με το 351 να είναι το θέωρημα Abel. Ο συγγραφέας προσπαθεί να αναπτύξει το υπόβαθρο που χρειάζεται για να αποδειχθεί το θεώρημα Abel. Οι κύριες έννοιες που χρειάζονται είναι μερικά αποτελέσματα της θεωρίας ομάδων και μιγαδικής ανάλυσης.

.

Υπάρχει και στα αγγλικά για όσους ενδιαφέρονται, π.χ εδώ. Από ότι βλέπω το είχε αναφέρει και ο κ.Λάμπρου σε άλλη παρόμοια συζήτηση εδώ.

Θα έλεγα ότι το συνιστώ για όσους μαθητές θέλουν να ξεφύφουν λίγο από τα "σχολικά". Να δουν την δύναμη των γεωμετρικών εννοιών και να καλάβουν βαθύτερα κάποιες άλλες υπό διαφορετική οπτική γωνία.

[Al.Koutsouridis]

Επειδή έπεσα πάνω του πρόσφατα...στο παρακάτω σύνδεσμο δίνεται στοιχειώδης λύση του θεωρήματος μη επιλυσιμότητας εξισώσεων πέμπτου βαθμού.

https://arxiv.org/pdf/1508.03317v4.pdf

Ενδιαφέρον ανάγνωσμα για τους ανύσηχους μαθητές (καθώς και οι παραπομπές).