ΑΡΡΗΤΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

nikoszan · #1

Να λυθεί η εξίσωση : $\displaystyle{\sqrt {{x^2} + 1} + \sqrt {2{x^3} - {x^2}} = x\sqrt {2x} + 1}$ .
Ν.Ζ.

Θεοδωρος Παγωνης · #2

Η δοθείσα εξίσωση ορίζεται για $\displaystyle{x\in \left[ \frac{1}{2},+\infty \right)\bigcup \left\{ 0 \right\}}$ .

Η εξίσωση έχει την προφανή λύση $\displaystyle{x=0}$ .

Αναζητούμε αν υπάρχουν λύσεις $\displaystyle{x\ge \frac{1}{2}}$ (διαφορετικές του μηδενός)

$\displaystyle{\sqrt{{{x}^{2}}+1}+\sqrt{2{{x}^{3}}-{{x}^{2}}}=x\sqrt{2x}+1\Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\sqrt{{{x}^{2}}+1}-1=\sqrt{2{{x}^{3}}}-\sqrt{2{{x}^{3}}-{{x}^{2}}}(1)\Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}-1 \right)\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}+1 \right)\left( \sqrt{2{{x}^{3}}}+\sqrt{2{{x}^{3}}-{{x}^{2}}} \right)=\left( \sqrt{2{{x}^{3}}}-\sqrt{2{{x}^{3}}-{{x}^{2}}} \right)\left( \sqrt{2{{x}^{3}}}+\sqrt{2{{x}^{3}}-{{x}^{2}}} \right)\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}+1 \right)\Leftrightarrow }$

$\displaystyle{{{x}^{2}}\left( \sqrt{2{{x}^{3}}}+\sqrt{2{{x}^{3}}-{{x}^{2}}} \right)={{x}^{2}}\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}+1 \right)\Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\sqrt{{{x}^{2}}+1}+1=\sqrt{2{{x}^{3}}}+\sqrt{2{{x}^{3}}-{{x}^{2}}}}$ (2)

Με πρόσθεση κατά μέλη των (1) και (2) έχω :

$\displaystyle{2\sqrt{{{x}^{2}}+1}=2\sqrt{2{{x}^{3}}}\Leftrightarrow }$

$\displaystyle{{{x}^{2}}+1=2{{x}^{3}}\Leftrightarrow }$

$\displaystyle{2{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-1=0}$ όπου με σχ. Horner βρίσκω $\displaystyle{x=1}$ , δεκτή.

Αρα οι λύσεις της αρχικής εξίσωσης είναι $\displaystyle{x=1}$ , $\displaystyle{x=0}$

#3

Έστω $\displaystyle{x}$ ρίζα της εξίσωσης
$\displaystyle{\sqrt {{x^2} + 1} + \sqrt {2{x^3} - {x^2}} = x\sqrt {2x} + 1 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 1} + \sqrt {2{x^3} - {x^2}} = \sqrt {2{x^3}} + 1\,\,\,\,\,(1)}$
Θέτω : $\displaystyle{{x^2} + 1 = a,\,\,\,\,\,\,2{x^3} - {x^2} = b}$
Τότε :
$\displaystyle{\begin{array}{l} (1) \Leftrightarrow \sqrt a + \sqrt b = \sqrt {a + b - 1} + 1 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow a + b + 2\sqrt {ab} = a + b - 1 + 1 + 2\sqrt {a + b - 1} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow ab = a + b - 1 \Leftrightarrow ab - a - b + 1 = 0 \Leftrightarrow (a - 1)(b - 1) = 0 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow a = 1 \vee b = 1 \Leftrightarrow {x^2} + 1 = 1 \vee 2{x^3} - {x^2} = 1 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow x = 0 \vee (x - 1)(2{x^2} + x - 1) = 0 \Leftrightarrow x = 0 \vee x = 1 \\ \end{array}}$
που επαληθεύουν

ΑΡΡΗΤΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

ΑΡΡΗΤΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

Re: ΑΡΡΗΤΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

Re: ΑΡΡΗΤΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

Μέλη σε σύνδεση