Ομοιόμορφη συνέχεια

Tolaso J Kos · #1

Για κάθε $x \in \mathbb{R}$ και κάθε $n \in \mathbb{N}$ ορίζουμε

$\displaystyle{f_n (x) = \frac{x}{1+nx^2}}$
και έστω

το όριο αυτής. Να δειχθεί ότι $f_n \overset{\text{\gr ομ}}{\longrightarrow }f$ . Στη συνέχεια να δειχθεί ότι η ισότητα $f'(x) = \lim \limits_{n \rightarrow +\infty} f'_n(x)$ ισχύει όταν $x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ ενώ είναι λανθασμένη όταν x=0

.

Μέχρι Τρίτη βράδυ.

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 14, 2020 1:09 am
Για κάθε $x \in \mathbb{R}$ και κάθε $n \in \mathbb{N}$ ορίζουμε

$\displaystyle{f_n (x) = \frac{x}{1+nx^2}}$
και έστω το όριο αυτής. Να δειχθεί ότι $f_n \overset{\text{\gr ομ}}{\longrightarrow }f$ . Στη συνέχεια να δειχθεί ότι η ισότητα $f'(x) = \lim \limits_{n \rightarrow +\infty} f'_n(x)$ ισχύει όταν $x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ ενώ είναι λανθασμένη όταν .

Είναι $f_n(0)=0\to 0$ και για $x\ne 0$ είναι άμεσο ότι $f_n(x)\to 0$ . Συνεπώς f=0

. Για να δείξουμε ότι η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη αρκεί να παρατηρήσουμε ότι για κάθε

είναι

$\displaystyle{| f_n(x)-f(x) |= \frac{|x|}{1+nx^2}\le \frac {1}{2\sqrt n} \to 0}$ (η τελευταία ανισότητα ισοδυναμεί με την $(1-\sqrt n|x|)^2\ge 0$ ).

Για την παράγωγο: Aν $x\ne 0$ τότε

$|f_n{'}(x)-f'(x)|= |\frac{1-nx^2}{(1+nx^2)^2}|=\dfrac {\frac {1}{n^2} - \frac {x^2}{n}} {\frac {1}{n^2} +\frac {2x^2}{n}+x^4 } \to \dfrac {0 - 0} {0+0+x^4 } =0$

Ενώ για x=0

έχουμε $|f_n{'}(0)-f'(0)| =1\not \rightarrow 0$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Μάλλον πρέπει να αλλάξει ο τίτλος
σε Ομοιόμορφη σύγκλιση.

Tolaso J Kos · #4

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 15, 2020 12:47 am
Μάλλον πρέπει να αλλάξει ο τίτλος
σε Ομοιόμορφη σύγκλιση.

Έχεις δίκιο Σταύρο. Από τη βιασύνη μου το 'γραψα ομοιόμορφη συνέχεια.

Ομοιόμορφη συνέχεια

Ομοιόμορφη συνέχεια

Re: Ομοιόμορφη συνέχεια

Re: Ομοιόμορφη συνέχεια

Re: Ομοιόμορφη συνέχεια

Μέλη σε σύνδεση