Είναι συνεχής;

Tolaso J Kos · #1

Έστω

τοπολογικοί χώροι. Θεωρούμε τη συνάρτηση $f:X\times Y \rightarrow \mathbb{R}$ φραγμένη και συνεχής συνάρτηση. Είναι η συνάρτηση $g(x) = \inf \limits_{y \in Y} f(x,y)$ συνεχής; Να δικαιολογηθεί η απάντησή σας.

Μέχρι αύριο το βράδυ!

Tolaso J Kos · #2

Ανοιχτή για όλους πλέον !

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τρί Απρ 14, 2020 8:20 pm
Έστω τοπολογικοί χώροι. Θεωρούμε τη συνάρτηση $f:X\times Y \rightarrow \mathbb{R}$ φραγμένη και συνεχής συνάρτηση. Είναι η συνάρτηση $g(x) = \inf \limits_{y \in Y} f(x,y)$ συνεχής; Να δικαιολογηθεί η απάντησή σας.

Μέχρι αύριο το βράδυ!

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Tolaso J Kos · #4

Χμμ... τετριμμένη Σταύρο αν τη ξέρεις και ξέρεις που να ψάξεις. Αλλιώς δε νομίζω .

Υ.Σ: Δεν έχω ξεχάσει κάτι.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τρί Απρ 14, 2020 8:20 pm
Έστω τοπολογικοί χώροι. Θεωρούμε τη συνάρτηση $f:X\times Y \rightarrow \mathbb{R}$ φραγμένη και συνεχής συνάρτηση. Είναι η συνάρτηση $g(x) = \inf \limits_{y \in Y} f(x,y)$ συνεχής; Να δικαιολογηθεί η απάντησή σας.

Μέχρι αύριο το βράδυ!

Δεν γράφω προς το παρόν λύση.
Θα κάνω κάποια σχόλια.

1)Τι πρέπει να βάλουμε στο κενό ώστε να ισχύει το ακόλουθο

Έστω X,Y

τοπολογικοί χώροι. Θεωρούμε τη συνάρτηση $f:X\times Y \rightarrow \mathbb{R}$ κάτω φραγμένη και συνεχή. Να δειχθεί ότι η συνάρτηση
$g(x) = \inf \limits_{y \in Y} f(x,y)$ είναι _______________.
Να γραφεί μια απόδειξη.

2)Να δοθεί παράδειγμα που η απάντηση στο παρακάτω είναι ΟΧΙ.

Θεωρούμε τη συνάρτηση $f:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ φραγμένη και συνεχής συνάρτηση. Είναι η συνάρτηση $g(x) = \inf \limits_{y \in Y} f(x,y)$ συνεχής;

Θα περιμένω λίγες μέρες και μετά θα βάλω λύση.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 16, 2020 4:57 pm

1)Τι πρέπει να βάλουμε στο κενό ώστε να ισχύει το ακόλουθο

Έστω τοπολογικοί χώροι. Θεωρούμε τη συνάρτηση $f:X\times Y \rightarrow \mathbb{R}$ κάτω φραγμένη και συνεχή. Να δειχθεί ότι η συνάρτηση
$g(x) = \inf \limits_{y \in Y} f(x,y)$ είναι _______________.
Να γραφεί μια απόδειξη.

2)Να δοθεί παράδειγμα που η απάντηση στο παρακάτω είναι ΟΧΙ.

Θεωρούμε τη συνάρτηση $f:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ φραγμένη και συνεχής συνάρτηση. Είναι η συνάρτηση $g(x) = \inf \limits_{y \in Y} f(x,y)$ συνεχής;

Θα περιμένω λίγες μέρες και μετά θα βάλω λύση.

Για το 2) μπορούν να δοθούν πολλά παραδείγματα.

Αρκεί να πάρουμε μια ακολουθία συναρτήσεων που να είναι φθίνουσα ,να συγκλίνει κατα σημείο
και η τελική συνάρτηση να μην είναι συνεχής.

π.χ η $\displaystyle (\frac{1}{1+x^{2}})^{n}$

Ευκολα τώρα μπορούμε να φτιάξουμε συνάρτηση.

π.χ $\displaystyle (\frac{1}{1+x^{2}})^{|y|+1},(\frac{1}{1+x^{2}})^{y^2+1}$

Και στα δύο θα είναι $g(0)=1,g(x)=0,x\neq 0$

Το 1)είναι
Έστω X,Y

τοπολογικοί χώροι. Θεωρούμε τη συνάρτηση $f:X\times Y \rightarrow \mathbb{R}$ κάτω φραγμένη και συνεχή. Να δειχθεί ότι η συνάρτηση
$\displaystyle g(x) = \inf \limits_{y \in Y} f(x,y)$ είναι άνω ημισυνεχής

Δεν είναι κάτι δύσκολο.
Η απόδειξη και στο $\mathbb{R}$ περνάει αμέσως σε Τοπολογικούς χώρους.
Να θυμίσω τον ορισμό της άνω ημισυνεχούς συνάρτησης.
Εστω

τοπολογικός χώρος και $f:X \rightarrow \mathbb{R}$ συνάρτηση.
Η

λέγεται άνω ημισυνεχής στο $x_0 \in X$ αν για κάθε $\epsilon >0$
υπάρχει ανοικτή περιοχή

του

ώστε $\displaystyle x\in U\Rightarrow f(x)<f(x_0)+\epsilon$
(μισή συνέχεια)

Να σημειώσω ότι το Τοπολογικοί χώροι είναι τελείως παραπλανητικό σε όλο το θέμα. Τα παραδείγματα μπορούν να δοθούν στο $\mathbb{R}$ ενώ η απόδειξη αυτού που διατύπωσα από το $\mathbb{R}$ περνάει αμέσως σε Τοπολογικούς χώρους.

BAGGP93 · #7

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 16, 2020 4:57 pm

Το 1)είναι
Έστω τοπολογικοί χώροι. Θεωρούμε τη συνάρτηση $f:X\times Y \rightarrow \mathbb{R}$ κάτω φραγμένη και συνεχή. Να δειχθεί ότι η συνάρτηση
$\displaystyle g(x) = \inf \limits_{y \in Y} f(x,y)$ είναι άνω ημισυνεχής

Δεν είναι κάτι δύσκολο.
Η απόδειξη και στο $\mathbb{R}$ περνάει αμέσως σε Τοπολογικούς χώρους.
Να θυμίσω τον ορισμό της άνω ημισυνεχούς συνάρτησης.
Εστω τοπολογικός χώρος και $f:X \rightarrow \mathbb{R}$ συνάρτηση.
Η λέγεται άνω ημισυνεχής στο $x_0 \in X$ αν για κάθε $\epsilon >0$
υπάρχει ανοικτή περιοχή του ώστε $\displaystyle x\in U\Rightarrow f(x)<f(x_0)+\epsilon$
(μισή συνέχεια)

Απόδειξη

Αρχικά η συνάρτηση

είναι καλά ορισμένη από το γεγονός ότι η

είναι κάτω φραγμένη.

Έστω $x\in X$ και έστω $\epsilon>0$ . Από ορισμό του infimum, υπάρχει $y_0\in Y$ ώστε $f(x,y_0)<g(x)+\epsilon$

Επειδή όμως η

είναι συνεχής στο $(x,y_0)\in X\times Y$ , για το δοθέν $\epsilon>0$ υπάρχει περιοχή $U\times V\subseteq X\times Y$ του (x,y_0)

ώστε $(x',y)\in U\times V\implies f(x',y)\in \left(f(x,y_0)-\epsilon,f(x,y_0)+\epsilon\right)$ . Τότε

είναι περιοχή του $x\in X$ και

$x'\in U\implies g(x')=\inf_{z\in Y}f(x',z)\leq f(x',y)<f(x,y_0)+\epsilon<g(x)+2\,\epsilon$ (όπως θέλαμε)

Είναι συνεχής;

Είναι συνεχής;

Re: Είναι συνεχής;

Re: Είναι συνεχής;

Re: Είναι συνεχής;

Re: Είναι συνεχής;

Re: Είναι συνεχής;

Re: Είναι συνεχής;

Μέλη σε σύνδεση