Είναι εγγράψιμο

#1

: Είναι εγγράψιμο.png (19.98 KiB) Προβλήθηκε 1446 φορές

Έστω ισόπλευρο τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και εσωτερικό σημείο

της πλευράς

.

Γράφουμε τον κύκλο $\left( O \right)$ κέντρου

κι ακτίνας

. Οι ευθείες $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC$ τέμνουν (ακόμα ) τον $\left( O \right)$ στα , $D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E.$

Στη χορδή

θεωρώ σημείο

, έτσι ώστε : ET = 2TD

. Δείξετε ότι το τετράπλευρο OTEC

είναι εγγράψιμο.

Ιστοσελίδα · #2

Doloros έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 05, 2024 11:04 pm
Έστω ισόπλευρο τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και εσωτερικό σημείο της πλευράς .

Γράφουμε τον κύκλο $\left( O \right)$ κέντρου κι ακτίνας . Οι ευθείες $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC$ τέμνουν (ακόμα ) τον $\left( O \right)$ στα , $D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E.$

Στη χορδή θεωρώ σημείο , έτσι ώστε : . Δείξετε ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο.

: shape.png (22.88 KiB) Προβλήθηκε 1419 φορές

Το τρίγωνο ODE

είναι ισοσκελές (λόγω των ακτινών

) με γωνία κορυφής ${120^ \circ }$ (διπλάσια της εγγεγραμμένης $\angle A = {60^ \circ }$ ).

Αν φέρουμε το ύψος-διάμεσο-διχοτόμο

, τότε $OM = \dfrac{R}{2}$ από το τρίγωνο $EOM({30^ \circ }{,60^ \circ }{,90^ \circ })$ .

Θέτοντας DE = 6x

και επειδή ET = 2TD

θα ισχύει $\dfrac{{OD}}{{OM}} = \dfrac{{DT}}{{TM}} = 2$ , συνεπώς από το αντίστροφο θεωρήματος διχοτόμου θα έχουμε $\angle DOT = \angle MOT = {30^ \circ }$ .

Τέλος, αφού $\angle OTE = \angle ACB = {60^ \circ }$ το τετράπλευρο OTEC

είναι εγγράψιμο.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

Doloros έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 05, 2024 11:04 pm
Είναι εγγράψιμο.png
Έστω ισόπλευρο τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και εσωτερικό σημείο της πλευράς .

Γράφουμε τον κύκλο $\left( O \right)$ κέντρου κι ακτίνας . Οι ευθείες $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC$ τέμνουν (ακόμα ) τον $\left( O \right)$ στα , $D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E.$

Στη χορδή θεωρώ σημείο , έτσι ώστε : . Δείξετε ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο.

Η κάθετη στην

στο

τέμνει την

στο

κι ας είναι DT=x,TS=y,SE=z

Είναι $\angle DOE=120^0 \Rightarrow \angle ODE= \angle OED=30^0 \Rightarrow \angle DNE=60^0$ άρα

διχοτόμος της $\angle DNE$

Έτσι $\dfrac{x+y}{z}= \dfrac{DN}{NE}=2 \Rightarrow x+y=2z \Rightarrow x+y+z=3z \Rightarrow z= \dfrac{DE}{3}=x \Rightarrow x=y=z$

Επομένως $OS= \dfrac{DS}{2}= \dfrac{TE}{2} \Rightarrow \angle EOT=90^0$ και προφανώς $\triangle OTS$ ισόπλευρο

Άρα $\angle ACO= \angle OTE \Rightarrow TECO$ εγγράψιμμο

: εγγράψιμμο.png (36.35 KiB) Προβλήθηκε 1358 φορές

Είναι εγγράψιμο

Είναι εγγράψιμο

Re: Είναι εγγράψιμο

Re: Είναι εγγράψιμο

Μέλη σε σύνδεση