Κάθετα τμήματα.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 801.png (6.39 KiB) Προβλήθηκε 1732 φορές

Στο παραπάνω σχήμα σχεδιάστηκε τετράγωνο ABCD

και κύκλος με κέντρα E, O

αντίστοιχα.
Αν τα K, M, N

είναι σημεία επαφής και η ακτίνα $OP\parallel AB$ , δείξτε ότι $EK\perp PK$ .

#2

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 25, 2024 7:15 pm
801.png

Στο παραπάνω σχήμα σχεδιάστηκε τετράγωνο και κύκλος με κέντρα αντίστοιχα.
Αν τα είναι σημεία επαφής και η ακτίνα $OP\parallel AB$ , δείξτε ότι $EK\perp PK$ .

Το μέσο οποιουδήποτε ευθύγραμμου τμήματος

που έχει τα $M\,\,\kappa \alpha \iota \,\,Z$ στις $AD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC$ θα ανήκει στη , σταθερή, μεσοπαράλληλη τους.

: Κάθετα τμήματα.png (20.91 KiB) Προβλήθηκε 1700 φορές

Το κέντρο

του κύκλου ανήκει στη σταθερή διαγώνιο

άρα το

είναι η τομή των σταθερών αυτών ευθειών .

Επειδή τώρα $\widehat {PKM} = 90^\circ$ ( βαίνει σε ημικύκλιο ) , άρα $MZ \bot KP$ .

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #3

Θα εξετάσουμε την ειδική περίπτωση που το κέντρο

του τετραγώνου ABCD

είναι
εξωτερικό του κύκλου $C_{\mathrm{KMN}}$ οπότε τα P,E

βρίσκονται εκατέρωθεν της

Έστω $\varphi=\angle NBO =\angle OBK$

Έστω

το σημείο τομής των BK, AD

συνευθειακά
( E,O

σημεία της διχοτόμου της $\angle DAB$

Οι διαγώνιες του τετραγώνου τέμνονται κάθετα και
$EO\perp EB\Rightarrow N,O,K,E,B$ ανήκουν στον ίδιο κύκλο με διάμετρο

$\bullet \angle PKB= \angle KMP=\dfrac{1}{2}\cdot \angle KOP = \dfrac{1}{2}\cdot (\angle KOP +90^o) -45^o$
$= \dfrac{1}{2}\cdot \angle KON -45^o = \dfrac{1}{2}\cdot (180^o -2\varphi) -45^o =45^o-\varphi$ (1)

$\bullet \angle EKB = \angle EOB = \angle OAB + \varphi = 45^o+\varphi$ (2)

Συνδυάζοντας (1,2) βρίσκουμε

$\angle PKB+\angle EKB = 90^o$ $\Rightarrow \angle EKP = 90^o$

$\Rightarrow KP\perp KE$ $\blacksquare$

Κάθετα τμήματα.

Κάθετα τμήματα.

Re: Κάθετα τμήματα.

Re: Κάθετα τμήματα.

Μέλη σε σύνδεση