Εξηγήσιμη διαφορά

KARKAR · #1

: Εξηγήσιμη διαφορά.png (16.71 KiB) Προβλήθηκε 2048 φορές

Το τρίγωνο ABC

είναι ισόπλευρο . Στο έλασσον τόξο $\overset{\frown}{BC}$ , του περικύκλου του ,

κινείται σημείο

. Η

τέμνει την

στο σημείο

. Δείξτε ότι : AS>CD

.

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #2

Λύση εκτός φακέλου

Από το θεώρημα του Πτολεμαίου στο ABDC

βρίσκουμε

$\Leftrightarrow AS+SD=BD+CD$

οπότε η ζητούμενη είναι ισοδύναμη με SD<BD

$\Leftrightarrow \angle DBS < \angle DSB$

$\Leftrightarrow \angle DAC < \angle 60^o+\angle BAS$

το οποίο ισχύει $\blacksquare$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 25, 2024 11:33 am
Εξηγήσιμη διαφορά.pngΤο τρίγωνο είναι ισόπλευρο . Στο έλασσον τόξο $\overset{\frown}{BC}$ , του περικύκλου του ,

κινείται σημείο . Η τέμνει την στο σημείο . Δείξτε ότι : .

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} S\widehat BD < 60^\circ \hfill \\ S\widehat DB = 60 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow B\widehat SD > 60^\circ \Leftrightarrow BD > SD$

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} AS + SD = DB + DC \hfill \\ SD < DB \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow$ $\boxed{AS>DC}$

Με πρόλαβε ο Ιάσονας. Πάντως η ισότητα AD=DC+DB

αποδεικνύεται και εντός φακέλου, χωρίς το θεώρημα Πτολεμαίου.

Φανης Θεοφανιδης · #4

: 777.png (11.24 KiB) Προβλήθηκε 1985 φορές

Κατασκευάζω το ισόπλευρο τρίγωνο DPC

.
Από την ισότητα των τριγώνων APC, BDC

έχω

.
Στο τρίγωνο BSD

ισχύει

(αφού η

βρίσκεται απέναντι από την μεγαλύτερη γωνία του) $\Rightarrow$
$\Rightarrow AP>SD$ (λόγω της $(1)) \Rightarrow$
$\Rightarrow AS-SP>SD \Rightarrow AS>SD+SP \Rightarrow AS>DP \Rightarrow AS>DC$ .

KARKAR · #5

: Αρχική εκφώνηση.png (23.55 KiB) Προβλήθηκε 1954 φορές

Όταν κατασκεύαζα την άσκηση , κατέληξα στην εξής εκφώνηση : Αν : $BT \parallel DC$

και η

τέμνει την

στο σημείο

, δείξτε ότι : AP=DC

.

Φανης Θεοφανιδης · #6

: 803.png (14.74 KiB) Προβλήθηκε 1942 φορές

Οι κόκκινες γωνίες προκύπτουν εύκολα.
Από το παραλληλόγραμμο PTCD

έχω

.
Από το ισόπλευρο τρίγωνο PTA

παίρνω

.
Η

και η

μου δίνουν ότι DC=PA

.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #7

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 25, 2024 11:33 am
Εξηγήσιμη διαφορά.pngΤο τρίγωνο είναι ισόπλευρο . Στο έλασσον τόξο $\overset{\frown}{BC}$ , του περικύκλου του ,

κινείται σημείο . Η τέμνει την στο σημείο . Δείξτε ότι : .

Θεωρώντας το ισόπλευρο τρίγωνο ADN

είναι,

.Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι

$CN-SD>0 \Leftrightarrow BD-SD>0$ (Αφού προφανώς $\triangle ABD= \triangle ACN$ )

Αλλά $\angle \omega > \angle B= \angle C \Rightarrow BD>SD$

: Εξηγήσιμη διαφορά.png (32.1 KiB) Προβλήθηκε 1912 φορές

Εξηγήσιμη διαφορά

Εξηγήσιμη διαφορά

Re: Εξηγήσιμη διαφορά

Re: Εξηγήσιμη διαφορά

Re: Εξηγήσιμη διαφορά

Re: Εξηγήσιμη διαφορά

Re: Εξηγήσιμη διαφορά

Re: Εξηγήσιμη διαφορά

Μέλη σε σύνδεση