Γωνία Τριγώνου

#1

Σε σκαληνό τρίγωνο ABC

με ύψος

και διάμεσο

είναι: $\widehat {BAD} = \widehat {MAC}$ .

Βρείτε , τεκμηριωμένα, την $\widehat {BAC}$ .

#2

Doloros έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 10, 2022 8:07 am
Σε σκαληνό τρίγωνο με ύψος και διάμεσο είναι: $\widehat {BAD} = \widehat {MAC}$ .

Βρείτε , τεκμηριωμένα, την $\widehat {BAC}$ .

Η καθεμία από τις κόκκινες γωνίες είναι ίση με $90^\circ-\widehat B,$ άρα $D\widehat AM=\widehat B-\widehat C.$

: Γωνία τριγώνου.ΝΦ.png (16.02 KiB) Προβλήθηκε 931 φορές

Φέρνω τη μεσοκάθετη της

που τέμνει την

στο

Είναι $\displaystyle A\widehat BP = \widehat B - \widehat C = D\widehat AM = A\widehat MP.$

Επομένως το ABMP

είναι εγγράψιμο και $\boxed{B\widehat AC=90^\circ}$

KARKAR · #3

: Επέκταση Dol.png (9.42 KiB) Προβλήθηκε 912 φορές

Ας μου επιτραπεί μια επέκταση : Στο τρίγωνο ABC

, με οξείες τις $\hat{B} , \hat{C}$

και AB<AC

, φέρουμε το ύψος

και τη διάμεσο

.

Είναι γνωστό ότι αν $\hat{A}=90^0$ , τότε : $\theta=\phi$ . Δείξτε ότι

αν : $\hat{A}<90^0$ , είναι $\theta<\phi$ και αν : $\hat{A}>90^0$ , τότε : $\theta > \phi$ .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

Doloros έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 10, 2022 8:07 am
Σε σκαληνό τρίγωνο με ύψος και διάμεσο είναι: $\widehat {BAD} = \widehat {MAC}$ .

Βρείτε , τεκμηριωμένα, την $\widehat {BAC}$ .

Η

είναι διάμετρος του κύκλου (A,B,C)

,συνεπώς αν $CE \bot AN$ η

είναι μεσοκάθετος της

,άρα

οπότε $\angle BEC= \angle BAC=90^0$

: Γωνία τριγώνου.png (18.68 KiB) Προβλήθηκε 874 φορές

angvl · #5

: γωνία τριγώνου.png (99.43 KiB) Προβλήθηκε 819 φορές

Καλημέρα κ. Νίκο

Εστω $\ E$ το μέσο της

τότε:

$\displaystyle ME =// \dfrac{AB}{2} \Rightarrow \angle CME = 90-x \Rightarrow \angle EMA = x+y$ και $\angle BAC = \angle AEM$

Επίσης είναι

διάμεσος ορθογωνίου που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα άρα $AE = DE \Rightarrow \angle ADE =\angle DAE = x+y$

Συνεπώς το τετράπλευρο ADME

είναι εγγράψιμο, άρα $\angle AEM = \angle ADM = 90^0$ οπότε $\angle BAC = 90^0$

#6

Doloros έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 10, 2022 8:07 am
Σε σκαληνό τρίγωνο με ύψος και διάμεσο είναι: $\widehat {BAD} = \widehat {MAC}$ .

Βρείτε , τεκμηριωμένα, την $\widehat {BAC}$ .

Νίκο καλημέρα...

Και μια ακόμα ιδέα:

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Γωνίες τριγώνου 1.png (24.78 KiB) Προβλήθηκε 769 φορές

Θεωρώντας τον περιγεγραμμένο κύκλο και την προέκταση της διαμέσου τότε
προκύπτουν εύκολα τα δυο όμοια τρίγωνα:

$\displaystyle{(ABD) \approx (AEC) }$

Επειδή το πρώτο είναι ορθογώνιο προκύπτει ότι και το δεύτερο είναι κι αυτό ορθογώνιο.

Δηλαδή:

$\displaystyle{\widehat{ACE}=90^o \ \ (1) }$

Άρα η $\displaystyle{AE}$ θα είναι διάμετρος του κύκλου.

Είναι γνωστό όμως ότι κάθε διάμετρος που διέρχεται από το μέσο μιας χορδής θα είναι και μεσοκάθετη αυτής

εκτός κι αν η χορδή είναι κι αυτή διάμετρος του κύκλου.

Όμως εδώ η διάμετρος $\displaystyle{AE}$ ως προέκταση της διαμέσου $\displaystyle{AM}$ σκαληνού τριγώνου δεν είναι μεσοκάθετος της πλευράς $\displaystyle{BC}$

συνεπώς η $\displaystyle{BC}$ θα είναι διάμετρος του κύκλου.

Άρα:

$\displaystyle{\widehat{BAC}=90^o}$

Κώστας Δόρτσιος

Γωνία Τριγώνου

Γωνία Τριγώνου

Re: Γωνία Τριγώνου

Re: Γωνία Τριγώνου

Re: Γωνία Τριγώνου

Re: Γωνία Τριγώνου

Re: Γωνία Τριγώνου

Μέλη σε σύνδεση