Να χαράξουμε τρίγωνο

[Christos.N]

Μου προέκυψε σαν απορία , υπάρχουν εμπειρότατοι άνθρωποι να διαφωτίσουν.

Δίνονται δύο κύκλοι όπου ένας είναι εσωτερικός του άλλου.
Να κατασκευαστεί τρίγωνο που εγγράφεται στον εξωτερικό και περιγράφεται του εσωτερικού.

Στιγμιότυπο από 2022-03-16 18-04-28.png (16.46 KiB) Προβλήθηκε 1049 φορές

[min##]

Δε γίνεται πάντα, πρέπει (και αρκεί) να ικανοποιείται η σχέση του Euler https://www.cut-the-knot.org/triangle/EulerIO.shtml .
Αν ικανοποιείται τότε η κατασκευή είναι απλή: Παίρνουμε όποιο σημείο θέλουμε του έξω κύκλου, και φέρνουμε τις εφαπτόμενες με τα στον έξω κύκλο.
Το γεγονός ότι όλες οι θέσεις του δουλεύουν σχετίζεται με το πόρισμα του Poncelet.https://en.m.wikipedia.org/wiki/Poncele ... re_theorem

Το τελευταίο είναι νομίζω από τα πιο κομψά αποτελέσματα της Προβολικής Γεωμετρίας (και γενικεύεται αρκετά, βλέπε παραπάνω).
Σημ:Στην περίπτωση των τριγώνων (αντί για n-γωνα) δε χρειάζεται το παραπάνω Θεώρημα στην πλήρη γενικότητα του. Βλ. στο πρώτο λινκ με ποιόν τρόπο η σχέση του Euler δίνει το συμπέρασμα

[KARKAR]

Διπλοεγγεγραμμένο.png (16.43 KiB) Προβλήθηκε 1027 φορές

Με μια πρόχειρη θεώρηση του θέματος , αν είναι γνωστή η διάκεντρος και

η ακτίνα του μεγάλου και έχει λύση το πρόβλημα , τότε το είναι καθορισμένο .

[Christos.N]

Δε γίνεται πάντα, πρέπει (και αρκεί) να ικανοποιείται η σχέση του Euler https://www.cut-the-knot.org/triangle/EulerIO.shtml .
Αν ικανοποιείται τότε η κατασκευή είναι απλή: Παίρνουμε όποιο σημείο θέλουμε του έξω κύκλου, και φέρνουμε τις εφαπτόμενες με τα στον έξω κύκλο.
Το γεγονός ότι όλες οι θέσεις του δουλεύουν σχετίζεται με το πόρισμα του Poncelet.https://en.m.wikipedia.org/wiki/Poncele ... re_theorem

Το τελευταίο είναι νομίζω από τα πιο κομψά αποτελέσματα της Προβολικής Γεωμετρίας (και γενικεύεται αρκετά, βλέπε παραπάνω).
Σημ:Στην περίπτωση των τριγώνων (αντί για n-γωνα) δε χρειάζεται το παραπάνω Θεώρημα στην πλήρη γενικότητα του. Βλ. στο πρώτο λινκ με ποιόν τρόπο η σχέση του Euler δίνει το συμπέρασμα

Ευχαριστώ πολύ !!!

[Mihalis_Lambrou]

Για την ιστορία, το ωραίο αυτό πρόβλημα εμφανίζεται το 1749 με λύση στο Miscellanea Curiosa Mathematica, Πρόταση ΙΙΙ σελίς 118 σε άρθρο του William Chapple (1718–1781).

Μπορείτε να κατεβάσετε το εξαιρετικό αυτό περιοδικό από εδώ.

Είμαι βέβαιος (αλλά άντε βρες το) ότι ο Chapple πρότεινε το εν λόγω πρόβλημα λίγο νωρίτερα είτε στο Ladie's Diary είτε στο Gentleman's Diary, εξαιρετικά Μαθηματικά περιοδικά και τα δύο. Έχω περάσει άπειρες ευχάριστες ώρες ξεφυλίζοντάς τα. Η κυκλοφορία τους διήρκησε κάπου 150 χρόνια αλλά σταμάτησαν να κυκλοφορούν περί τον ενάμιση αιώνα τώρα.

Ο ίδιος ο Chapple είχε δώσει περίπου εκείνη την εποχή την πρώτη σύγχρονη απόδειξη του γνωστού από την αρχαιότητα αλλά ξεχασμένου τότε θεωρήματος ότι τα ύψη τριγώνου συγκλίνουν. Στο ίδιο περιοδικό υπάρχουν και άλλες αποδείξεις του εν λόγω θεωρήματος. Διάφοροι και πολύ αργότερα τις ανακάλυψαν εκ νέου και ξανά εκ νέου και ξανά-ξανά εκ νέου αλλά τις δημοσίευσαν ακόμα και τις μέρες μας ως ... πρωτοεμφανιζόμενες.