Αθροίσματα γωνιών

KARKAR · #1

: Αθροίσματα γωνιών.png (11.85 KiB) Προβλήθηκε 906 φορές

Το τρίγωνο ABC

είναι ισόπλευρο , το

είναι τυχαίο σημείο της πλευράς

και το

το έγκεντρο του τριγώνου SBC

. Υπολογίστε τα αθροίσματα γωνιών : $\phi+\omega ,$ $\phi+\theta$ .

#2

: Αθροίσματα γωνιών.png (26.9 KiB) Προβλήθηκε 893 φορές

$\widehat {SEB} = 90^\circ + 30^\circ = 120^\circ$ , άρα το τετράπλευρο, ABES

, είναι εγγράψιμο οπότε :

α) $\omega + \phi = 180^\circ \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\omega = {\omega _1}$

β) $\theta = 60^\circ + {\theta _1} = 90^\circ + \omega \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\phi = 180^\circ - \omega$ άρα : $\phi + \theta = 270^\circ$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 15, 2020 7:43 pm
Αθροίσματα γωνιών.pngΤο τρίγωνο είναι ισόπλευρο , το είναι τυχαίο σημείο της πλευράς και το

το έγκεντρο του τριγώνου . Υπολογίστε τα αθροίσματα γωνιών : $\phi+\omega ,$ $\phi+\theta$ .

: Αθροίσματα γωνιών.png (11.91 KiB) Προβλήθηκε 847 φορές

α) $\displaystyle \varphi + \omega = A\widehat SB + B\widehat SE + A\widehat BS + S\widehat BE = 60^\circ + S\widehat BC + B\widehat SE + A\widehat BS + S\widehat BE =$

$\displaystyle 60^\circ + (S\widehat BC + A\widehat BS) + (B\widehat SE + S\widehat BE) = 60^\circ + 60^\circ + 60^\circ \Leftrightarrow$ $\boxed{\varphi + \omega = 180^\circ }$

β) $\displaystyle \varphi + \theta = \left( {180^\circ - \frac{{B\widehat SC}}{2}} \right) + \left( {90^\circ + \frac{{B\widehat SC}}{2}} \right) \Leftrightarrow$ $\boxed{\varphi + \theta = 270^\circ }$

#4

Για λόγους πλουραλισμού ( Όπως θα έλεγε ο φίλτατος Σωτήρης )

Θεωρώ τον κύκλο , $\left( {S,E,C} \right)$ και έστω

το άλλο σημείο τομής της ευθείας

μ αυτόν.

α) το τετράπλευρο : ABES

είναι εγγράψιμο γιατί

η $\widehat {SEB} = 90^\circ + \dfrac{{\widehat {ACB}}}{2} = 120^\circ \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{A_{}}} = 60^\circ$ με άμεσες συνέπειες:

$\widehat {{\omega _1}} = \widehat {{\omega _{}}}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\widehat {DES} = \widehat {{A_{}}} = 60^\circ \Rightarrow \boxed{SE \bot SD}$ .

: Αθροίσματα γωνιών_new.png (30.84 KiB) Προβλήθηκε 835 φορές

α) $\boxed{\widehat {{\omega _{}}} + \widehat {{\phi _{}}} = \widehat {{\omega _1}} + \widehat {{\phi _{}}} = 180^\circ }$

β) $\widehat {{\theta _{}}} = \widehat {{\theta _1}}$ ως παραπληρώματα των ίσων εγγεγραμμένων γωνιών του εγγραψίμου

τετράπλευρου SECD

στο τόξο χορδής

.

Έτσι το άθροισμα, $\widehat {{\theta _{}}} + \widehat {{\phi _{}}} = \widehat {{\theta _1}} + \widehat {{\phi _{}}} = \widehat {DSE}$ (μη κυρτή )

Δηλαδή: $\boxed{\widehat {{\theta _{}}} + \widehat {{\phi _{}}} = 360^\circ - 90^\circ = 270^\circ }$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 15, 2020 7:43 pm
Αθροίσματα γωνιών.pngΤο τρίγωνο είναι ισόπλευρο , το είναι τυχαίο σημείο της πλευράς και το

το έγκεντρο του τριγώνου . Υπολογίστε τα αθροίσματα γωνιών : $\phi+\omega ,$ $\phi+\theta$ .

Επειδή

μεσοκάθετος της

,οι γωνίες

είναι ίσες,άρα ASEB

εγγράψιμο

Η

είναι διάμετρος του κύκλου (A,S,E,B)

και προφανώς όλες οι μπλε γωνίες είναι $\omega$

Έτσι, $\angle \phi + \omega =180^0$ και $\angle \phi + \theta =180^0- \omega +90^0+ \omega =270^0$

: Άθροισμα γωνιών.png (17.65 KiB) Προβλήθηκε 806 φορές

Αθροίσματα γωνιών

Αθροίσματα γωνιών

Re: Αθροίσματα γωνιών

Re: Αθροίσματα γωνιών

Re: Αθροίσματα γωνιών

Re: Αθροίσματα γωνιών

Μέλη σε σύνδεση