Γωνία από γωνία

#1

: Γωνία από γωνία..png (10.85 KiB) Προβλήθηκε 892 φορές

Στο εσωτερικό ισοσκελούς τριγώνου ABC(AB=AC)

με $\widehat A=96^0$ υπάρχει σημείο

, ώστε $P\widehat BC=18^0$

και $P\widehat CB=30^0.$ Να βρείτε τη γωνία $B\widehat AP=x.$

Δεκτή κάθε λύση, αλλά προηγούνται οι λύσεις εντός φακέλου.

#2

george visvikis έγραψε:Γωνία από γωνία..png
Στο εσωτερικό ισοσκελούς τριγώνου με $\widehat A=96^0$ υπάρχει σημείο , ώστε $P\widehat BC=18^0$

και $P\widehat CB=30^0.$ Να βρείτε τη γωνία $B\widehat AP=x.$

Δεκτή κάθε λύση, αλλά προηγούνται οι λύσεις εντός φακέλου.

Μέχρι να γράψω δύο λόγια δείτε το σχήμα

: Γωνία απο γωνία.png (30.38 KiB) Προβλήθηκε 880 φορές

Αν η διχοτόμος της $\widehat {ABP}$ κόψει την ευθεία

στο

, θα είναι

1. SB = SP

και άρα

2. $AS \bot BC$ , οπότε

3. $\vartriangle SBP = \vartriangle SCA$ , συνεπώς

4. SA = SP

και

Έτσι :

$\widehat {BAP} = 90^\circ - 12^\circ = 78^\circ$

Φιλικά Νίκος

Ιστοσελίδα · #3

george visvikis έγραψε: Στο εσωτερικό ισοσκελούς τριγώνου με $\widehat A=96^0$ υπάρχει σημείο , ώστε $P\widehat BC=18^0$

και $P\widehat CB=30^0.$ Να βρείτε τη γωνία $B\widehat AP=x.$

Δεκτή κάθε λύση, αλλά προηγούνται οι λύσεις εντός φακέλου.

Καλησπέρα στους φίλους!

: Γωνία-από-γωνία.png (27.31 KiB) Προβλήθηκε 845 φορές

Αν

το περίκεντρο του $\triangleleft BPC$ , τότε σχηματίζονται:

Το ισόπλευρο $\triangleleft OPB$ , το ισοσκελές $\triangleleft OPC({36^ \circ }{,72^ \circ }{,72^ \circ })$ , το ισοσκελές $\triangleleft OBC({96^ \circ }{,42^ \circ }{,42^ \circ })$ ,

ο ρόμβος ACOB

και απ’ το ισοσκελές $\triangleleft BAP$ εύκολα παίρνουμε $x = {78^ \circ }$

Ιστοσελίδα · #4

george visvikis έγραψε: Στο εσωτερικό ισοσκελούς τριγώνου με $\widehat A=96^0$ υπάρχει σημείο , ώστε $P\widehat BC=18^0$

και $P\widehat CB=30^0.$ Να βρείτε τη γωνία $B\widehat AP=x.$

Δεκτή κάθε λύση, αλλά προηγούνται οι λύσεις εντός φακέλου.

Ακόμα μία.

: Γωνία-από-γωνία_2.png (26.04 KiB) Προβλήθηκε 836 φορές

Σχεδιάζουμε το ισόπλευρο $\triangleright BCD$ και από $\triangleleft PBC\mathop = \limits^{\Gamma - \Pi - \Gamma } \triangleleft ABD \Rightarrow BP = BA$ , συνεπώς $\triangleleft BAP\,({24^ \circ }{,78^ \circ }{,78^ \circ })$

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #5

Μια λύση εκτός φακέλου

Έχουμε με τριγωνομετρική Ceva:

$\dfrac{\sin \widehat{ABP}}{\sin \widehat{PBC}} \cdot \dfrac{\sin \widehat{BCP}}{\sin \widehat{PCA}} \cdot \dfrac{\sin \widehat{CAP}}{\sin \widehat{PAB}}=1 \Leftrightarrow \dfrac{\sin {24^o}}{\sin{ 18^o}} \cdot \dfrac{\sin {30^o}}{\sin {12^o}} \cdot \dfrac{\sin {(96^o-x)}}{\sin {x}}=1 \Leftrightarrow$

$\dfrac{2\sin {12^o}\cos{12^o}}{\sin{ 18^o}} \cdot \dfrac{1}{2\sin {12^o}} \cdot \dfrac{\sin {(96^o-x)}}{\sin {x}}=1 \Leftrightarrow \dfrac{\cos{12^o}}{\sin{ 18^o}} \cdot \dfrac{\sin {(96^o-x)}}{\sin {x}}=1 \Leftrightarrow$

$\dfrac{\sin{78^o}}{\sin{ 18^o}} \cdot \dfrac{\sin {(96^o-x)}}{\sin {x}}=1 \Leftrightarrow \dfrac{\sin{78^o}}{\sin{(96^o- 78^o)}} = \dfrac{\sin {x}}{\sin {(96^o-x)}}$

Από την τελευταία, και γνωρίζοντας ότι x<96^o

, προκύπτει ότι x=78^o

Υ.Γ Είμαι λίγο επιφυλακτικός ως προς το τελευταίο στάδιο, μήπως θα έπρεπε να γίνει καλύτερη δικαιολόγηση...

#6

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:Μια λύση εκτός φακέλου

Έχουμε με τριγωνομετρική Ceva:

$\dfrac{\sin \widehat{ABP}}{\sin \widehat{PBC}} \cdot \dfrac{\sin \widehat{BCP}}{\sin \widehat{PCA}} \cdot \dfrac{\sin \widehat{CAP}}{\sin \widehat{PAB}}=1 \Leftrightarrow \dfrac{\sin {24^o}}{\sin{ 18^o}} \cdot \dfrac{\sin {30^o}}{\sin {12^o}} \cdot \dfrac{\sin {(96^o-x)}}{\sin {x}}=1 \Leftrightarrow$

$\dfrac{2\sin {12^o}\cos{12^o}}{\sin{ 18^o}} \cdot \dfrac{1}{2\sin {12^o}} \cdot \dfrac{\sin {(96^o-x)}}{\sin {x}}=1 \Leftrightarrow \dfrac{\cos{12^o}}{\sin{ 18^o}} \cdot \dfrac{\sin {(96^o-x)}}{\sin {x}}=1 \Leftrightarrow$

$\dfrac{\sin{78^o}}{\sin{ 18^o}} \cdot \dfrac{\sin {(96^o-x)}}{\sin {x}}=1 \Leftrightarrow \dfrac{\sin{78^o}}{\sin{(96^o- 78^o)}} = \dfrac{\sin {x}}{\sin {(96^o-x)}}$

Από την τελευταία, και γνωρίζοντας ότι , προκύπτει ότι

Μπράβο Διονύση

. Το ότι χειρίζεσαι σ αυτή την ηλικία ( κι εδώ κι αλλού) την τριγωνομετρία άψογα είναι πολύ σπουδαίο.

Φιλικά, Νίκος

Μιχάλης Τσουρακάκης · #7

george visvikis έγραψε:Γωνία από γωνία..png
Στο εσωτερικό ισοσκελούς τριγώνου με $\widehat A=96^0$ υπάρχει σημείο , ώστε $P\widehat BC=18^0$

και $P\widehat CB=30^0.$ Να βρείτε τη γωνία $B\widehat AP=x.$

Δεκτή κάθε λύση, αλλά προηγούνται οι λύσεις εντός φακέλου.

Κατασκευάζουμε το ισόπλευρο $\displaystyle{\vartriangle ABD}$ οπότε $\displaystyle{\angle CBD = {18^0}}$

Στον κύκλο $\displaystyle{\left( {A,AB} \right)}$ είναι $\displaystyle{2\angle BCD = \angle BAD = {60^0} \Rightarrow \angle BCD = {30^0}}$ ,άρα $\displaystyle{\vartriangle PCB = \vartriangle CDB \Rightarrow BD = BP}$

Έτσι , $\displaystyle{BP = AB \Rightarrow \boxed{x = {{78}^0}}}$

: γαγ..png (11.68 KiB) Προβλήθηκε 798 φορές

Ιστοσελίδα · #8

george visvikis έγραψε: Στο εσωτερικό ισοσκελούς τριγώνου με $\widehat A=96^0$ υπάρχει σημείο , ώστε $P\widehat BC=18^0$

και $P\widehat CB=30^0.$ Να βρείτε τη γωνία $B\widehat AP=x.$

Δεκτή κάθε λύση, αλλά προηγούνται οι λύσεις εντός φακέλου.

Καλημέρα!

: Γωνία-από-γωνία_3.png (35.68 KiB) Προβλήθηκε 786 φορές

Αν ο κύκλος (A,AB)

τμήσει την

στο

, τότε σχηματίζονται:

Το ισόπλευρο $\triangleleft ADB$ , το ισοσκελές $\triangleleft BPD({84^ \circ }{,48^ \circ }{,48^ \circ })$ , οπότε το $\triangleleft BAP$ είναι ισοσκελές με $x = {78^ \circ }$

Γωνία από γωνία

Γωνία από γωνία

Re: Γωνία από γωνία

Re: Γωνία από γωνία

Re: Γωνία από γωνία

Re: Γωνία από γωνία

Re: Γωνία από γωνία

Re: Γωνία από γωνία

Re: Γωνία από γωνία

Μέλη σε σύνδεση