Διχοτόμος κάθετη στην διάμεσο.

#1

Σε τρίγωνο ABC

η διχοτόμος

τέμνει κάθετα την διάμεσο

στο

. Η ευθεία

τεμνει την

στο

. Να αποδειχτεί ότι ZD//AC

.

... με ύλη Α Λυκείου. Από το "μακρινό" 1977.

Ορέστης Λιγνός · #2

Καλημέρα κύριε Κώστα!

Με ύλη Α Λυκείου (ο Μενέλαος και ο Ceva να περιμένουν

) ...

Το τρίγωνο BAM

είναι ισοσκελές, καθώς $AD \perp BM, \,\, \widehat{BAE}=\widehat{EAM}$ .

Άρα, AB=AM=MC

και $\boxed{AC=2AB \,\, (1)}$ .

Από Θ. Διχοτόμου, BD=2DC

.

Έστω

(το πρώτο από το ισοσκελές BAM

, το δεύτερο από το CAE

με διάμεσο την

και το τρίτο από το BMC

).

Είναι $\dfrac{(ZEB)}{(BEC)}=\dfrac{ZE}{EC}=\dfrac{(AZE)}{(AEC)} \Leftrightarrow \dfrac{(ZEB)}{E}=\dfrac{(AZE)}{2E} \Leftrightarrow (AZE)=2(ZEB)$

$\Leftrightarrow \boxed{AZ=2ZB \,\, (2)}$ .

Από (1), (2), $\dfrac{AZ}{ZB}=\dfrac{BD}{DC} (=2)$ και από αντίστροφο Θαλή, $ZD \parallel AC$ .

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #3

Γενικότερα ισχύει ότι:

Σε τρίγωνο έχουμε την διάμεσο και τις ευθείες και , οι οποίες συντρέχουν. Τότε .

Να μια λύση χωρίς σύνθετα θεωρήματα:

Έστω

το σημείο τομής των

ευθειών. Παίρνουμε το συμμετρικό του

ως προς το

, έστω

.

Προφανώς το SAKC

είναι παραλληλόγραμμο. Άρα ZS//AK

και

. Άρα $\dfrac{ZS}{AK}=\dfrac{BS}{BK}=\dfrac{SD}{KC}\Rightarrow \dfrac{ZS}{AK}=\dfrac{SD}{KC}$ (1)

Ακόμη $\widehat{ZSD}=\widehat{ASC}=\widehat{AKC}$ (2)

Από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει ότι τα τρίγωνα ZSD

και

είναι όμοια.

Συνεπώς $\widehat{ACS}=\widehat{KAC}=\widehat{SZD}\Rightarrow \widehat{ACS}=\widehat{SZD}$ που σημαίνει ότι DZ//AC

#4

Εξαιρετικές λύσεις! Και ας μην είναι με ύλη Α Λυκείου. (θα περιμένω, όμως,...)

Είναι ασύγκριτα καλύτερες από την λύση που έχει ο Αείμνηστος Πάλλας στο δελτίο του για το 1977. Ήταν θέμα για την σχολή Ναυτικών Δοκίμων.

#5

Χωρίς Λόγια

: Διχοτόμος κάθετη στη διάμεσο_2.png (34.76 KiB) Προβλήθηκε 1914 φορές

Χωρίς αναλογίες με παραλληλόγραμμο και το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα μέσα πλευρών τριγώνου .

Φιλικά

Νίκος

apotin · #6

Νίκο, no comment

Ιστοσελίδα · #7

rek2 έγραψε:Σε τρίγωνο η διχοτόμος τέμνει κάθετα την διάμεσο στο . Η ευθεία τεμνει την στο . Να αποδειχτεί ότι .

... με ύλη Α Λυκείου. Από το "μακρινό" 1977.

Καλησπέρα!

: Διχοτόμος-κάθετη-στην-διάμεσο.png (24.54 KiB) Προβλήθηκε 1859 φορές

Αν

το μέσο του

, τότε από $NM\parallel ZC\mathop \Rightarrow \limits^{BE = EM} Z$ μέσο του

Από θεώρημα διχοτόμου και αντίστροφο Θαλή το ζητούμενο έπεται άμεσα.

S.E.Louridas · #8

Ας μου επιτραπεί βάλω και εγώ ένα σχήμα που θεωρώ ότι οδηγεί στοιχειωδώς και γρήγορα στη λύση.

#9

Καλησπέρα.

Επειδή στην προηγούμενη ανάρτησή μου υπάρχει λάθος μεγάλο

επανέρχομαι διαφορετικά.

Ας είναι

το μέσο του

και

η τομή της

με την από το

παράλληλη

στην

.

Προφανώς $AB = AM = MC\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AE \bot BM\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BE = EM$

Θα ισχύουν τα παρακάτω :

1. $MK//AD \Rightarrow MK//ED$ από το τρίγωνο $\vartriangle BMK$ και με το

μέσο του

Θα είναι και το

μέσο του

και συνεπώς $\boxed{BD = DK = KC}$

2. Προφανώς με ίδιο σκεπτικό έχουμε AH = HZ

( από το τρίγωνο $\vartriangle AZC$ )

3. Πάλι με ίδιο σκεπτικό HZ = ZB

( Από το τρίγωνο $\vartriangle BHM$ )

: Διχοτόμος κάθετη στη διάμεσο_3.png (31.54 KiB) Προβλήθηκε 1806 φορές

Στο τρίγωνο $\vartriangle BHK$ $ZD// = \dfrac{{HK}}{2}$ . Τώρα αν στο τραπέζιο ZDKH

προεκτείνουμε

Τις $DK\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ZH$ κατά ίσα τμήματα $DK = KC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ZH = HA$ αναγκαστικά το

τετράπλευρο DZAC

θα είναι τραπέζιο.

( Δεν νομίζω ότι είναι δύσκολο να δειχθεί με άτοπο) .

Θα είναι λοιπόν ZD//AC

.

Προφανώς το θέμα όπως πολύ σωστά έγραψε ό Ορέστης έχει άνετη και απλή λύση με το θεώρημα Ceva

.

Φιλικά

Νίκος

#10

Καλημέρα

Μια ακόμη άποψη αξιοποιώντας το βαρύκεντρο τριγώνου .

Είναι

και η

μεσοκάθετη στο

.

Έστω

το μέσο του

και

μέσο του

Από την πρόταση του τμήματος που συνδέει τα μέσα πλευρών τριγώνου

προκύπτει :

: Διχοτόμος κάθετη στη διάμεσο_4.png (33.75 KiB) Προβλήθηκε 1765 φορές

$\boxed{BD = DK = KC\,\,\,}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\boxed{AT = TZ = ZB}\,\,\,\,( * )$

Αν

το συμμετρικό του

ως προς το

και η

τμήση την

στο

Το

είναι βαρύκεντρο και του $\vartriangle APD$ , και η

διάμεσός του.

Επειδή δε PD = DC

στο τρίγωνο $\vartriangle PAC$ το $LD// = \dfrac{{AC}}{2}$ , δηλαδή DZ//AC

.

Φιλικά

Νίκος

Μιχάλης Τσουρακάκης · #11

rek2 έγραψε:Σε τρίγωνο η διχοτόμος τέμνει κάθετα την διάμεσο στο . Η ευθεία τεμνει την στο . Να αποδειχτεί ότι .

... με ύλη Α Λυκείου. Από το "μακρινό" 1977.

Μια λύση με ύλη Α' Λυκείου

Έστω $\displaystyle{CS \bot AD}$ και $\displaystyle{P}$ συμμετρικό του $\displaystyle{D}$ ως προς $\displaystyle{B}$

Είναι $\displaystyle{AH = HS \Rightarrow }$ \displaystyle{\displaystyle{EH} μεσοκάθετος της

\displaystyle{AS}} $\displaystyle{ \Rightarrow ABSH}$ ρόμβος $\displaystyle{ \Rightarrow HQ//AZ \Rightarrow Q}$ μέσον της $\displaystyle{ZC}$ $\displaystyle{ \Rightarrow AZ = 2HQ}$

Αλλά από την ισότητα των $\displaystyle{\vartriangle ZEB,EHQ \Rightarrow ZB = HQ}$ ,άρα $\displaystyle{AZ = 2ZB \Rightarrow Z}$ κ.βάρους του $\displaystyle{\vartriangle APD \Rightarrow T}$ μέσον της $\displaystyle{AP}$

Μένει να δείξουμε ότι $\displaystyle{D}$ μέσον της $\displaystyle{PC}$

Λόγω του παραλ/μμου $\displaystyle{HBSC}$ το $\displaystyle{K}$ είναι μέσον των $\displaystyle{BC,HS}$ .Άρα $\displaystyle{D}$ κ.βάρους του $\displaystyle{\vartriangle BHS}$ $\displaystyle{ \Rightarrow BD = 2DK \Rightarrow \boxed{PD = 4DK}}$

Ακόμη, $\displaystyle{BK = 3DK \Rightarrow KC = 3DK \Rightarrow \boxed{CD = 4DK}}$ . Έτσι $\displaystyle{D}$ μέσον της $\displaystyle{PC}$ .Τώρα στο $\displaystyle{\vartriangle APC \Rightarrow DT//AC \Rightarrow \boxed{ZD//AC}}$

: D.K.S.D.png (18.83 KiB) Προβλήθηκε 1754 φορές

Τώρα είδα την τελευταία λύση του Νίκου και βλέπω ότι οι σκέψεις μας σχεδόν συμπίπτουν

S.E.Louridas · #12

Επανέρχομαι για περισσότερες εξηγήσεις της ημέτερης λύσης.
Στο σχήμα που ακολουθεί από τις προφανείς συμμετρίες ως προς την ευθεία

και το σημείο

, έχουμε $QL = LJ,\,\;{J_1}S = SJ,\,\;SL\parallel {J_1}Q\parallel AC,$ $DL\mathop = \limits^\parallel ZS \Rightarrow ZSLD\,\pi \alpha \rho \alpha \lambda \lambda . \Rightarrow ZD\parallel SL\parallel AC.$

Ιστοσελίδα · #13

rek2 έγραψε:Σε τρίγωνο η διχοτόμος τέμνει κάθετα την διάμεσο στο . Η ευθεία τεμνει την στο . Να αποδειχτεί ότι .

... με ύλη Α Λυκείου. Από το "μακρινό" 1977.

Μια παραλλαγή της αρχικής μου λύσης.

: Διχοτόμος-κάθετη-στην-διάμεσο_2.png (28.96 KiB) Προβλήθηκε 1707 φορές

Προεκτείνω την

κατά ίσο τμήμα

και τότε το

είναι το βαρύκεντρο του $\triangleleft ACK$

Έτσι, $\dfrac{{KD}}{{DM}}\mathop = \limits^{2:1} \dfrac{{KZ}}{{ZA}} \Rightarrow ZD\parallel AC$

S.E.Louridas · #14

Κατά τα άλλα, αφαιρώντας από το σχήμα της προηγούμενης ανάρτησης μου κάποια πράγματα προκύπτει ότι, το

είναι κ.β. του τριγώνου AQC

και το

του τριγώνου AFC

. Άρα $\displaystyle{\frac{{ZE}}{{EC}} = \frac{{EL}}{{EC}} = \frac{1}{3} = \frac{{DE}}{{EA}} \Rightarrow ZD\parallel AC.}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #15

rek2 έγραψε:Σε τρίγωνο η διχοτόμος τέμνει κάθετα την διάμεσο στο . Η ευθεία τεμνει την στο . Να αποδειχτεί ότι .

... με ύλη Α Λυκείου. Από το "μακρινό" 1977.

και μια λύση με Θαλή

Με $\displaystyle{CS \bot AD}$ $\displaystyle{ \Rightarrow ABSH}$ ρόμβος και $\displaystyle{BHCS}$ παραλ/μμο.Άρα, $\displaystyle{ZE = EQ}$ και $\displaystyle{K}$ μέσον της $\displaystyle{BC}$

Έτσι τα $\displaystyle{D,Q}$ είναι κ.βάρους των $\displaystyle{\vartriangle BHS,ASC}$ κι επομένως $\displaystyle{\frac{{ZE}}{{EC}} = \frac{{DK}}{{KC}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \boxed{EZ//EK//AC}}$

: DKSD.png (14.98 KiB) Προβλήθηκε 1658 φορές

Διχοτόμος κάθετη στην διάμεσο.

Διχοτόμος κάθετη στην διάμεσο.

Re: Διχοτόμος κάθετη στην διάμεσο.

Re: Διχοτόμος κάθετη στην διάμεσο.

Re: Διχοτόμος κάθετη στην διάμεσο.

Re: Διχοτόμος κάθετη στην διάμεσο.

Re: Διχοτόμος κάθετη στην διάμεσο.

Re: Διχοτόμος κάθετη στην διάμεσο.

Re: Διχοτόμος κάθετη στην διάμεσο.

Re: Διχοτόμος κάθετη στην διάμεσο.

Re: Διχοτόμος κάθετη στην διάμεσο.

Re: Διχοτόμος κάθετη στην διάμεσο.

Re: Διχοτόμος κάθετη στην διάμεσο.

Re: Διχοτόμος κάθετη στην διάμεσο.

Re: Διχοτόμος κάθετη στην διάμεσο.

Re: Διχοτόμος κάθετη στην διάμεσο.

Μέλη σε σύνδεση