Ισοσκελές μέσω παραλληλογράμμου

#1

: Ισότητα μέσω παραλληλογράμμου.png (22.78 KiB) Προβλήθηκε 932 φορές

Σκαληνό τρίγωνο ABC

είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο $(\omega).$ Η εφαπτομένη του κύκλου στο

τέμνει την

στο

και

η διάμεσος

τέμνει τον $(\omega)$ στο

Κατασκευάζω το παραλληλόγραμμο ADMK.

Να δείξετε ότι KA=KN.

Δεκτές και λύσεις εκτός φακέλου.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 14, 2023 5:42 pm
Ισότητα μέσω παραλληλογράμμου.png
Σκαληνό τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο $(\omega).$ Η εφαπτομένη του κύκλου στο τέμνει την στο και

η διάμεσος τέμνει τον $(\omega)$ στο Κατασκευάζω το παραλληλόγραμμο Να δείξετε ότι

Δεκτές και λύσεις εκτός φακέλου.

Αν

το κέντρο του κύκλου ,θα είναι $OA\bot AD \Rightarrow OA \bot KM$

Ακόμη, $OM \bot BC \Rightarrow OM \bot AK$ ,άρα

ορθόκεντρο του τριγώνου AMK

Έτσι, $KO \bot AM$ όπως και $OP \bot AN$ (

μέσον της

) άρα

συνευθειακά και

μεσοκάθετος

της

που αποδεικνύει το ζητούμενο

: ισοσκελές .....png (19.22 KiB) Προβλήθηκε 842 φορές

#3

Μιχάλης Τσουρακάκης έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 15, 2023 7:53 pm

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 14, 2023 5:42 pm
Ισότητα μέσω παραλληλογράμμου.png
Σκαληνό τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο $(\omega).$ Η εφαπτομένη του κύκλου στο τέμνει την στο και

η διάμεσος τέμνει τον $(\omega)$ στο Κατασκευάζω το παραλληλόγραμμο Να δείξετε ότι

Δεκτές και λύσεις εκτός φακέλου.
Αν το κέντρο του κύκλου ,θα είναι $OA\bot AD \Rightarrow OA \bot KM$

Ακόμη, $OM \bot BC \Rightarrow OM \bot AK$ ,άρα ορθόκεντρο του τριγώνου

Έτσι, $KO \bot AM$ όπως και $OP \bot AN$ ( μέσον της ) άρα συνευθειακά και μεσοκάθετος

της που αποδεικνύει το ζητούμενο

ισοσκελές .....png

Henri van Aubel · #4

Μιχάλης Τσουρακάκης έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 15, 2023 7:53 pm

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 14, 2023 5:42 pm
Ισότητα μέσω παραλληλογράμμου.png
Σκαληνό τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο $(\omega).$ Η εφαπτομένη του κύκλου στο τέμνει την στο και

η διάμεσος τέμνει τον $(\omega)$ στο Κατασκευάζω το παραλληλόγραμμο Να δείξετε ότι

Δεκτές και λύσεις εκτός φακέλου.
Αν το κέντρο του κύκλου ,θα είναι $OA\bot AD \Rightarrow OA \bot KM$

Ακόμη, $OM \bot BC \Rightarrow OM \bot AK$ ,άρα ορθόκεντρο του τριγώνου

Έτσι, $KO \bot AM$ όπως και $OP \bot AN$ ( μέσον της ) άρα συνευθειακά και μεσοκάθετος

της που αποδεικνύει το ζητούμενο

ισοσκελές .....png

Τόσο απλό , αλλά πανέμορφο κομψοτέχνημα!!!

#5

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 14, 2023 5:42 pm
Ισότητα μέσω παραλληλογράμμου.png
Σκαληνό τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο $(\omega).$ Η εφαπτομένη του κύκλου στο τέμνει την στο και

η διάμεσος τέμνει τον $(\omega)$ στο Κατασκευάζω το παραλληλόγραμμο Να δείξετε ότι

Δεκτές και λύσεις εκτός φακέλου.

Από το

φέρνω παράλληλη στην

και τέμνει τον κύκλο $\Omega$ ακόμα στο

.

Ας είναι

το κέντρο του κύκλου $\Omega$ . επειδή τα $A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,M$ βλέπουν το

υπό ορθή γωνία τα:

A,O,M,D

ανήκουν σε κύκλο διαμέτρου

και έστω

το κέντρο του .

Ο κύκλος αυτός τέμνει τον κύκλο $\Omega$ ακόμα στο

κι επειδή η

είναι μεσοκάθετος στην

το

είναι το άλλο εφαπτόμενο τμήμα από το

. Προφανώς MP = MN

, Μετά απ’ αυτά :

: Ισότητα μέσω παραληλλογράμου_ok.png (41.33 KiB) Προβλήθηκε 761 φορές

$\widehat {\omega _{}^{}} = \widehat {{\omega _2}}\,\,$ (γιατί $KM//\,AD$ ) και $\widehat {{\omega _1}} = \,\,\widehat {{\omega _2}}$ ( βαίνουν στο ίδιο τόξο ). Άρα $\widehat {\omega _{}^{}} = \widehat {{\omega _1}}\,\,\,\left( 1 \right)$

$\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _1}} = \widehat {\theta _{}^{}}\,\,\left( 2 \right)$ , δηλαδή $\widehat {KMN} = \widehat {\omega _{}^{}} + \widehat {\theta _{}^{}} = \widehat {{\omega _1}} + \widehat {{\theta _1}} = \widehat {DPM}$ .

Τα τρίγωνα $KMN\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DPM$ έχουν ακόμα : $KM = DP\,,\,MN = MP$ άρα είναι ίσα οπότε: KN = DM = KA

.

#6

Η αρχική μου λύση είναι ίδια με του Μιχάλη. Ας δούμε όμως και κάτι άλλο με κυνήγι γωνιών.

: Ισοσκελές μέσω παραλληλογράμμου.png (26.23 KiB) Προβλήθηκε 713 φορές

Η

τέμνει τον κύκλο στο

Tο

είναι μέσο της

και

άρα $\displaystyle MA = ML \Leftrightarrow$ $\boxed{M\widehat LA = M\widehat AL}$

$\displaystyle K\widehat MN = K\widehat MB + B\widehat MN = A\widehat DM + A\widehat MD = 180^\circ - N\widehat AD = 180^\circ - A\widehat BN = A\widehat CN = K\widehat LN$

Άρα το MNKL

είναι εγγράψιμο, οπότε $\displaystyle K\widehat NA = M\widehat LA = M\widehat AL \Leftrightarrow$ $\boxed{KA=KN}$

Λύνεται και με μετρικές σχέσεις εκτός φακέλου.

Ισοσκελές μέσω παραλληλογράμμου

Ισοσκελές μέσω παραλληλογράμμου

Re: Ισοσκελές μέσω παραλληλογράμμου

Re: Ισοσκελές μέσω παραλληλογράμμου

Re: Ισοσκελές μέσω παραλληλογράμμου

Re: Ισοσκελές μέσω παραλληλογράμμου

Re: Ισοσκελές μέσω παραλληλογράμμου

Μέλη σε σύνδεση