Τετράγωνο-48.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 55.png (10.79 KiB) Προβλήθηκε 1206 φορές

Καλησπέρα.

Οι χορδές

και

του εγγεγραμμένου κύκλου στο τετράγωνο ABCD

, είναι ίσες.
Να βρείτε το μέτρο της γωνίας $\theta$ ( G, H, C

συνευθειακά).

Henri van Aubel · #2

Καλησπέρα! Μία λύση.
Το τετράπλευρο GFHI

είναι ισοσκελές τραπέζιο και άρα $\angle IGH=\angle FHG$ . Λόγω χορδής-εφαπτομένης έχω $\angle IGH=\angle CIH$ και $\angle FHG=\angle GFB.$ Άρα τελικά έχω $\angle CIH=\angle GFB$ και με BF=CI,FG=IH,

έχω την ισότητα τριγώνων $\vartriangle CIH=\vartriangle GFB.$ Συνεπώς τώρα είναι $\angle GBC+\angle GCB=\angle HCI+\angle GCB=90^\circ\Leftrightarrow \angle CGB=90^\circ$ και με

μέσον της

έχω

Αν τώρα

τότε έχω $\displaystyle GH=FI=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$ Επομένως έχω $\displaystyle FC^{2}=\left ( \frac{a}{2} \right )^{2}=GC\cdot \left ( GC-\displaystyle\frac{a\sqrt{2}}{2} \right )\Leftrightarrow \frac{GC}{a}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}=\sin \theta$ .

Έτσι τελικά $\boxed {\theta =75^\circ}$

Φανης Θεοφανιδης · #3

Λύκε, λύκε είσαι εδώ.

Henri van Aubel · #4

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 10, 2022 7:28 pm
Λύκε, λύκε είσαι εδώ.

Ελπίζω να μην με δουλεύεις ψιλό γαζί

. Δεν ξέρω τι σημαίνει αυτό που γράφεις, δεν το κατάλαβα το υπονοούμενο. Εξήγησέ το μου.

#5

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 10, 2022 6:13 pm
55.png

Καλησπέρα.

Οι χορδές και του εγγεγραμμένου κύκλου στο τετράγωνο , είναι ίσες.
Να βρείτε το μέτρο της γωνίας $\theta$ ( συνευθειακά).

: Τετράγωνο 48_Φάνης.png (19.73 KiB) Προβλήθηκε 1114 φορές

Πρώτα- πρώτα από το πιο πάνω σχήμα αβίαστα έχω ότι το τετράπλευρο GIHF

είναι ισοσκελές τραπέζιο και $\widehat {{\omega _{}}} + \widehat {{\phi _{}}} = 45^\circ \Rightarrow OG \bot OH$ .

Πάμε παρακάτω .

Το τετράπλευρο OICF

είναι τετράγωνο, έστω πλευράς

, που είναι και η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου στο αρχικό τετράγωνο.

Προεκτείνω την ακτίνα

κατά ίσο τμήμα : $\boxed{IS = OI = a}$ . Θα είναι: $\widehat {{S_{}}} = 45^\circ \,$

: τετράγωνο_48_Θεοφανίδης.png (26.01 KiB) Προβλήθηκε 1114 φορές

Επειδή τα σημεία G,H,C

ανήκουν στην ίδια ευθεία θα είναι

$\widehat {OHC} = 135^\circ \Rightarrow \widehat S + \widehat {OHC} = 45^\circ + 135^\circ = 180^\circ$ , δηλαδή το τετράπλευρο OSCH

είναι εγγράψιμο.

Μα έτσι , b = IH = a

οπότε το τρίγωνο HOI

είναι ισόπλευρο συνεπώς $\boxed{\widehat {IHC} = \widehat {{\theta _{}}} = 75^\circ }$ .

#6

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 10, 2022 6:13 pm
55.png

Καλησπέρα.

Οι χορδές και του εγγεγραμμένου κύκλου στο τετράγωνο , είναι ίσες.
Να βρείτε το μέτρο της γωνίας $\theta$ ( συνευθειακά).

Έστω

η ακτίνα του κύκλου και

το σημείο τομής των CG, AB.

Το

είναι ισοσκελές τραπέζιο,

άρα GH=FI=FE,

οπότε και το GEHF

είναι ισοσκελές τραπέζιο και GE=FH.

: Τετράγωνο-48.png (17.29 KiB) Προβλήθηκε 1084 φορές

Τα

είναι ίσα γιατί GF=HI, BF=CI=a

και $\displaystyle B\widehat FG = F\widehat IG = H\widehat EI = H\widehat IC.$

Επίσης τα BGE, HFC

είναι ίσα (Π-Π-Π), άρα $\displaystyle K\widehat BG = B\widehat CK$ κι επειδή $\displaystyle K\widehat BC = 90^\circ$ θα είναι και

$\displaystyle B\widehat GC = 90^\circ \Leftrightarrow GF = \frac{{BC}}{2} = a = HI = IC.$ Επομένως, $\displaystyle I\widehat EH = H\widehat IC = 30^\circ$ και λόγω

του ισοσκελούς IHC

θα είναι $\boxed{\theta=75^\circ}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #7

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 10, 2022 6:13 pm
55.png

Καλησπέρα.

Οι χορδές και του εγγεγραμμένου κύκλου στο τετράγωνο , είναι ίσες.
Να βρείτε το μέτρο της γωνίας $\theta$ ( συνευθειακά).

Λόγω χορδής-εφαπτομένης και ισοσκελούς τραπεζίου EHIG

,είναι

, $\angle TGI= \angle TIG=45^0 \Rightarrow GT \bot TI \Rightarrow FTCI$ εγγράψιμμο,άρα οι κόκκινες γωνίες

είναι ίσες,οπότε τα τρίγωνα BFG,CHI

είναι ίσα,άρα και οι μπλε γωνίες ίσες

Επομένως $BG \bot GC$ και προφανώς $BF=FC=FG= \dfrac{a}{2}$ άρα $\angle BFG= \angle CIH=30^0$ οπότε $\angle \theta =75^0$

: Γωνία.png (38.97 KiB) Προβλήθηκε 1001 φορές

Τετράγωνο-48.

Τετράγωνο-48.

Re: Τετράγωνο-48.

Re: Τετράγωνο-48.

Re: Τετράγωνο-48.

Re: Τετράγωνο-48.

Re: Τετράγωνο-48.

Re: Τετράγωνο-48.

Μέλη σε σύνδεση