ισόπλευρο τρίγωνο

#1

Αν $\upsilon_A=\delta_B=\mu_{\Gamma}$ να δειχτεί ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο
Νομίζω όμως ότι αυτή η άσκηση πάει για μαθηματικούς διαγωνισμούς
Τη γράφω εδώ επειδή το προηγούμενο είναι σχετικό

#2

Δεν θα βάλω τις πράξεις μου (είναι πολλές!) αλλά βρήκα

1) Αν α η μεγαλύτερη πλευρά, τότε $\mu_{\Gamma} \geq \upsilon_A$ .
2) Αν β η μεγαλύτερη πλευρά $\upsilon_A \geq \delta_B$ .
3) Αν γ > α τότε $\upsilon_A > \mu_{\Gamma}$ .

Οι ισότητες στα (1) και (2) ισχύουν αν και μόνο αν α=β=γ.

#3

Demetres έγραψε:Δεν θα βάλω τις πράξεις μου (είναι πολλές!) αλλά βρήκα

1) Αν α η μεγαλύτερη πλευρά, τότε $\mu_{\Gamma} \geq \upsilon_A$ .
2) Αν β η μεγαλύτερη πλευρά $\upsilon_A \geq \delta_B$ .
3) Αν γ > α τότε $\upsilon_A > \mu_{\Gamma}$ .

Οι ισότητες στα (1) και (2) ισχύουν αν και μόνο αν α=β=γ.

Οι πράξεις περιλαμβάνουν μετρικές σχέσεις? πχ εκφράζεις το μήκος της διχοτόμου συναρτήσει των πλευρών? γιατί υπάρχει απόδειξη χωρίς μετρικές σχέσεις (Α λυκείου)
Στέλνω λύση στο συνημμένο

nicolae · #4

Το θέμα είχε εμφανιστεί το 1967, σε Ολυμπιάδα της ΕΣΣΔ.

#5

R BORIS έγραψε: Οι πράξεις περιλαμβάνουν μετρικές σχέσεις? πχ εκφράζεις το μήκος της διχοτόμου συναρτήσει των πλευρών? γιατί υπάρχει απόδειξη χωρίς μετρικές σχέσεις (Α λυκείου)

Άλλη φορά θα μάθω να σκέφτομαι πρωτα. Μόνο στο (1) δεν χρησιμοποίησα μετρικές σχέσεις.

#6

Το θέμα είχε τεθεί με την επιπλέον υπόθεση το τρίγωνο να είναι οξυγώνιο.
Με αυτή την προσθήκη προτείνω την εξής λύση:
Είναι $\upsilon _{\alpha }=\delta_{\beta }\geq \upsilon _{\beta }$ , άρα $\alpha \leq \beta$ .
Επίσης $\upsilon _{\alpha}=\mu _{\gamma }\geq \upsilon _{\gamma }$ , οπότε $\alpha \leq \gamma$ .
Ακόμα $\mu _{\beta}\geq \delta_{\beta}=\mu_{\gamma}$ , δηλαδή $\beta \leq \gamma$ .
Έτσι $\alpha \leq \beta \leq \gamma$ .
Ισχύουν οι σχέσεις $\mu _{\gamma}=\upsilon _{\alpha}=\gamma\sin{B}$ και
$\alpha^{2}+\beta ^{2}=2\mu_{\gamma}^{2}+\frac{\gamma ^{2}}{2}$ . Άρα
$\alpha^{2}+\beta ^{2}=2\gamma ^{2}\sin ^{2}{B}+\frac{\gamma ^{2}}{2}$ ή
$\left(\frac{\alpha }{\gamma } \right)^{2}+\left(\frac{\beta }{\gamma } \right)^{2}=2\sin ^{2}{B}+\frac{1}{2}$ . Χρησιμοποιούμε το νόμο των ημιτόνων και παίρνουμε
$\frac{\sin^{2}{A}}{\sin^{2}{\Gamma}}+\frac{\sin^{2}{B}}{\sin ^{2}{\Gamma}}=2\sin ^{2}{B}+\frac{1}{2}$ ή αλλιώς
$\sin ^{2}{\Gamma}=\frac{\sin ^{2}{A}+\sin^{2}{B}}{2\sin ^{2}{B}+\frac{1}{2}}$ .
Είναι αρκετό να δείξουμε ότι $\hat{\Gamma }\leq \ 60^{o}$ .
Εφόσον το τρίγωνο είναι οξυγώνιο, είναι αρκετό να δείξουμε ότι $\sin^{2}{\Gamma}\leq\frac{3}{4}$ .
Αρκεί $\frac{\sin^{2}{A}+\sin^{2}{B}}{2\sin^{2}{B}+0.5}\leq\frac{3}{4}$ ή ισοδύναμα
$4\sin^{2}{A}\leq2\sin^{2}{B}+\frac{3}{2}$ που ισχύει διότι $\sin{A}\leq\sin{B}$ και $\hat{A}\leq60^{o}$ ως η μικρότερη γωνία του τριγώνου.

ισόπλευρο τρίγωνο

ισόπλευρο τρίγωνο

Re: ισόπλευρο τρίγωνο

Re: ισόπλευρο τρίγωνο

Re: ισόπλευρο τρίγωνο

Re: ισόπλευρο τρίγωνο

Re: ισόπλευρο τρίγωνο

Μέλη σε σύνδεση