Συντρέχουσες

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

#2

orestisgotsis έγραψε:Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma \,\,\,\left( {\angle \,A = {{90}^0}} \right)}$ . Φέρνουμε το ύψος $\displaystyle{{\rm A}\Delta }$ και τη διάμεσο $\displaystyle{{\rm A}{\rm M}}$ . Από το $\displaystyle{\Delta }$ φέρνουμε τη $\displaystyle{\Delta {\rm E} \bot {\rm A}{\rm B}}$ και τη $\displaystyle{\Delta {\rm Z} \bot {\rm A}\Gamma }$ .

α) Να αποδειχθεί ότι $\displaystyle{{\rm E}{\rm Z} \bot {\rm A}{\rm M}}$ .

β) Αν $\displaystyle{\Theta }$ είναι το σημείο τομής των $\displaystyle{{\rm A}{\rm M},\,\,\Delta {\rm Z}}$ , να αποδειχθεί ότι το $\displaystyle{{\rm B}\Theta {\rm Z}{\rm E}}$ είναι παραλληλόγραμμο.

γ) Αν $\displaystyle{{\rm K}}$ είναι το μέσο της $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ , να αποδειχθεί ότι οι $\displaystyle{{\rm A}\Delta ,\,\,{\rm B}\Theta ,\,\,{\rm K}{\rm M}}$ συντρέχουν.

Το συνημμένο Γεωμετρία Α.PNG δεν είναι πλέον διαθέσιμο

Ας μου επιτραπεί να αλλάξω λίγο τα γράμματα για δική μου διευκόλυνση. Έστω $\displaystyle{ S \equiv EZ \cap AM }$

[attachment=0]2.png[/attachment]

α) Είναι: $\displaystyle{ \hat A = 90^0 \mathop \Rightarrow \limits^{AM\,\,\delta \iota \alpha \mu \varepsilon \sigma o\varsigma \,\,\tau o\upsilon \,\,\vartriangle ABC} MA = MB = \frac{{BC}} {2} \Rightarrow \boxed{\widehat{MAE} = \widehat{ABC}}:\left( 1 \right) }$ .

Με $\displaystyle{ AEDZ }$ ορθογώνιο προκύπτει ότι $\displaystyle{ \widehat{AES} = \widehat{EAD}\mathop = \limits^{\widehat{EAD} = \widehat{ACB}\,\,(\kappa \alpha \theta \varepsilon \tau \varepsilon \varsigma \,\,\pi \lambda \varepsilon \upsilon \rho \varepsilon \varsigma )} \boxed{\widehat{AES} = \widehat{ACB}}:\left( 2 \right) }$

Από $\displaystyle{ \left( 1 \right) + \left( 2 \right) \Rightarrow \widehat{MAE} + \widehat{AES} = \widehat{ACB} + \widehat{ABC}\mathop \Rightarrow \limits^{\widehat{ACB} + \widehat{ABC} = 90^0 } \widehat{MAE} + \widehat{AES} = 90^0 \mathop \Rightarrow \limits^{\vartriangle ASE} \widehat{ASE} = 90^0 \Rightarrow \boxed{EZ \bot AM} }$

β) Με $\displaystyle{ \left\{ \begin{gathered} DZ \bot AC \hfill \\ AB \bot AC \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow DZ\parallel AB \Rightarrow \widehat{MFD}\mathop = \limits^{\varepsilon \nu \tau o\varsigma \,\,\varepsilon \kappa \tau o\varsigma \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\varepsilon \pi \iota \,\,\tau \alpha \,\,\alpha \upsilon \tau \alpha } \widehat{MAB}\mathop \Rightarrow \limits^{\widehat{MAB} = \widehat{MBA}(MA = MB = \frac{{BC}} {2})} \widehat{MFD} = \widehat{MBA} \Rightarrow ABDF }$

εγγράψιμο σε κύκλο (στην ουσία είναι ισοσκελές τραπέζιο) οπότε:

$\displaystyle{ \widehat{ABF}\mathop = \limits^{\varepsilon \gamma \gamma \varepsilon \gamma \rho \alpha \mu \mu \varepsilon \nu \varepsilon \varsigma \,\,\sigma \tau o\,\,\iota \delta \iota o\,\,\tau o\xi o} \widehat{ADZ}\mathop \Rightarrow \limits^{AEDZ\,\,o\rho \theta o\gamma \omega \nu \iota o \to \widehat{ADZ} = \widehat{AEZ}} \widehat{ABF} = \widehat{AEZ} \Rightarrow EZ\parallel BF \Rightarrow }$ $\displaystyle{ \left\{ \begin{gathered} \xrightarrow{{EZ\parallel BF}}BFZE\,\,\pi \alpha \rho \alpha \lambda \lambda \eta \lambda o\gamma \rho \alpha \mu \mu o \hfill \\ \xrightarrow{{EZ \bot AM}}\boxed{BF \bot AM}:\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. }$

γ) Με τα $\displaystyle{ K,M }$ να είναι τα μέσα των πλευρών $\displaystyle{ AB,AC }$ αντίστοιχα προκύπτει ότι: $\displaystyle{ KM\parallel AC\mathop \Rightarrow \limits^{AB \bot AC} \boxed{KM \bot AB} }$

Έτσι στο τρίγωνο $\displaystyle{ \vartriangle ABM }$ τα $\displaystyle{ AD,BF,MK }$ είναι τα τρία ύψη του (όπως προκύπτει από τις προηγούμενες καθετότητες) και συνεπώς συντρέχουν

Στάθης

Συντρέχουσες

Συντρέχουσες

Re: Συντρέχουσες

Μέλη σε σύνδεση