30%

KARKAR · #1

: 30%.png (6.89 KiB) Προβλήθηκε 116 φορές

$\bigstar$ Στο διαστάσεων $a \times b$ ορθογώνιο ABCD

, μεταβλητή ευθεία παράλληλη προς την

, τέμνει τις AD , AC , BC

στα σημεία P,S,T

αντίστοιχα . Δημιουργήστε συνάρτηση , η οποία αποδίδει το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης περιοχής

και βρείτε το ελάχιστο αυτού του εμβαδού . Πότε αυτό το εμβαδόν ισούται με το

% του εμβαδού του ορθογωνίου ;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 16, 2026 8:01 am
$\bigstar$ Στο διαστάσεων $a \times b$ ορθογώνιο , μεταβλητή ευθεία παράλληλη προς την , τέμνει τις

στα σημεία αντίστοιχα . Δημιουργήστε συνάρτηση , η οποία αποδίδει το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης περιοχής

και βρείτε το ελάχιστο αυτού του εμβαδού . Πότε αυτό το εμβαδόν ισούται με το % του εμβαδού του ορθογωνίου ;

Καλημέρα...

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Ποσοστό 3.png (37.99 KiB) Προβλήθηκε 88 φορές

Η ζητούμενη συνάρτηση είναι:

$\displaystyle{f(x)=(APS)+(STC)=\frac{1}{2}x(SP)+\frac{1}{2}(b-x)(ST) \ \ (1) }$

Όμως είναι από την ομοιότητα των τριγώνων $\displaystyle{ ACD, ASP}$ :

$\displaystyle{\frac{x}{AD}=\frac{SP}{CD} \Rightarrow \frac{x}{b}=\frac{SP}{a} \Rightarrow (SP)=\frac{ax}{b} \ \ (2) }$

Ακόμα είναι:

$\displaystyle{(ST)=a-\frac{ax}{b} \ \ (3) }$

Άρα από τις (2) και (3) η (1) γίνεται μετά από πράξεις:

$\displaystyle{f(x) =\frac{a}{2b}(2x^2-2bx+b^2) \ \ (4) }$

Το ελάχιστο αυτής της συνάρτησης κατά τα γνωστά βρίσκεται και είναι:

$\displaystyle{f(\frac{b}{2})=\frac{ab}{4} \ \ (5) }$

Για να λάβει η συνάρτηση αυτή το $\displaystyle{30}$ % του εμβαδού του ορθογωνίου θα πρέπει:

$\displaystyle{f(x)=\frac{30}{100}ab \ \ (6) }$

Λύνοντας την (6) προκύπτουν οι λύσεις:

$\displaystyle{ x_1=\frac{5-\sqrt{5}}{10}b, \ \ x_2=\frac{5+\sqrt{5}}{10}b, \ \ (7) }$

Οι λύσεις αυτές απεικονίζονται στα παρακάτω σχήματα:

: Ποσοστό 1.png (15.7 KiB) Προβλήθηκε 88 φορές

: Ποσοστό 2.png (15.92 KiB) Προβλήθηκε 88 φορές

Παρατήρηση

Προφανώς οι λύσεις αυτές έχουν μια σχέση μεταξύ των η οποία θέλει η μια να

είναι η περιστροφή της άλλης κατά γωνία ίση με $\displaystyle{180^o}$ και με κέντρο το κέντρο

του ορθογωνίου!

Κώστας Δόρτσιος

30%

30%

Re: 30%

Μέλη σε σύνδεση