Συμμετρικό ως προς το μηδέν

KARKAR · #1

Ο

είναι ένας θετικός αριθμός . Βρείτε την τιμή του , ώστε η συνάρτηση : $f(x)=\sqrt{a-\sqrt{2a-x}}$

να έχει πεδίο ορισμού διάστημα συμμετρικό ως προς το

. Βρείτε και το σύνολο τιμών της συνάρτησης .

Tolaso J Kos · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 04, 2024 11:28 am
Ο είναι ένας θετικός αριθμός . Βρείτε την τιμή του , ώστε η συνάρτηση : $f(x)=\sqrt{a-\sqrt{2a-x}}$

να έχει πεδίο ορισμού διάστημα συμμετρικό ως προς το . Βρείτε και το σύνολο τιμών της συνάρτησης .

Θανάση, είναι σίγουρο ότι υπάρχει τέτοιο

; Βγάζω ότι πρέπει a=2

αλλά εν τέλει το πεδίο ορισμού δεν είναι συμμετρικό (προκύπτει το [0, 4]

).

Al.Koutsouridis · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 04, 2024 11:28 am
Ο είναι ένας θετικός αριθμός . Βρείτε την τιμή του , ώστε η συνάρτηση : $f(x)=\sqrt{a-\sqrt{2a-x}}$

να έχει πεδίο ορισμού διάστημα συμμετρικό ως προς το . Βρείτε και το σύνολο τιμών της συνάρτησης .

Για να ορίζεται η παράσταση θα πρέπει $2a-x\geq 0$ από όπου παίρνουμε ότι $x \leq 2a$ και $a \geq \sqrt{2a-x}$ . Η υπόριζη ποσότητα είναι μη αρνητική οπότε και το

είναι μη αρνητικό. Άρα η ανισότητα $a \geq \sqrt{2a-x}$ είναι ισοδύναμη με την $a^2 \geq 2a-x$ ή $x \geq 2a-a^2$ .

Όμως $2a-a^2 \leq 2a$ άρα $2a-a^2 \leq x \leq 2a$ . Για να είναι συμμετρικό αυτό το διάστημα ως προς το

, θα πρέπει αυτό να είναι το μέσο του. Οπότε $\dfrac{2a+2a-a^2}{2}=0$ , από όπου βρίσκουμε a=0

ή

.

Για

η συνάρτηση γίνεται $f(x)=\sqrt{-\sqrt{-x}}$ και έχει πεδίο ορισμού μόνο το σημείο x=0

, άρα δεν σχηματίζει διάστημα σε αυτήν την περίπτωση.

Για a=4

το πεδίο ορισμού είναι $-8 \leq x \leq 8$ . Που είναι συμμετρικό ως προς το μηδέν.

Έστω

η τιμή που να πάρει η συνάρτηση f(x)

, τότε θα πρέπει να ισχυεί $\sqrt{4-\sqrt{8-x}}=y$ . Από όπου βρίσκουμε διαδοχικά

$\sqrt{8-x} = -y^2+4$ . Η ρίζα είναι μη αρνητική άρα, θα πρέπει $-y^2+4 \geq 0$ , από όπου βρίσκουμε ότι $y^2 \leq 4$ και εφόσον οι τιμές τις συνάρτησης είναι μη αρνητικές θα πρέπει $0 \leq y \leq 2$ .

Θα δείξουμε ότι η συνάρτηση μπορεί να πάρει όλες τιμές αυτού του διαστήματος. Για αυτό αρκεί η εξίσωση $\sqrt{8-x} = -y^2+4$ να έχει λύσεις για κάποιο

του διαστήματος ορισμού. Πράγματι η εξίσωση γράφεται

8-x = (4-y^2)^2

ή

και έχει διακρίνουσα (ως προς y^2

) $D=8^2-4(8-x)= 32+4x \geq 0$ αφού $-8 \leq x \leq 8$ . Με λύσεις

$y^2= \dfrac{8-\sqrt{32+4x}}{2}$ ή $y = \sqrt{\dfrac{8-\sqrt{32+4x}}{2}}$ .

Συμμετρικό ως προς το μηδέν

Συμμετρικό ως προς το μηδέν

Re: Συμμετρικό ως προς το μηδέν

Re: Συμμετρικό ως προς το μηδέν

Μέλη σε σύνδεση