Ρητό μέρος

KARKAR · #1

Στην ισότητα : $(2+\sqrt{3})^4=97+56\sqrt{3}$ , παρατηρούμε ότι το ρητό μέρος

υπερέχει του άρρητου μέρους $56\sqrt{3}$ , αλλά ελάχιστα ( $56\sqrt{3} \simeq 96.9948 ...$ ) .

Αν ο

είναι θετικός ακέραιος , ώστε ο a+1

να μην είναι τέλειο τετράγωνο , υπάρχει

περίπτωση στον αριθμό $(a+\sqrt{a+1})^4$ , να είναι το ρητό μέρος ίσο με το άρρητο ;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 22, 2024 8:15 am
Αν ο είναι θετικός ακέραιος , ώστε ο να μην είναι τέλειο τετράγωνο , υπάρχει

περίπτωση στον αριθμό $(a+\sqrt{a+1})^4$ , να είναι το ρητό μέρος ίσο με το άρρητο ;

Χαιρετίσματα από Βραζιλία όπου μόλις έφτασα μετά από

ώρες πτήση από Αθήνα.

Στο θέμα μας:

Εύκολα βλέπουμε ότι το ανάπτυγμα $(a+\sqrt{a+1})^4$ είναι της μορφής $A+B\sqrt{a+1}$ όπου A,B

μη μηδενικοί φυσικοί αριθμοί. Εδώ αποκλείεται να έχουμε $A=B\sqrt{a+1}$ γιατί τότε θα ήταν $\sqrt{a+1}= \dfrac {A}{B}$ ίσον ρητός, άτοπο αφού από γνωστό θεώρημα θα έπρεπε τότε το a+1

να ήταν τέλειο τετράγωνο.

KARKAR · #3

Προφανώς υπάρχει λάθος στην εκφώνηση της άσκησης αφού το ρητό μέρος είναι αδύνατον να είναι ίσο με το άρρητο

Αν λοιπόν :

άρρητος με : a>-1

και το $(a+\sqrt{a+1})^4$ , ισούται με $A+B\sqrt{a+1}$ , υπάρχει περίπτωση

να είναι $A=B\sqrt{a+1} ;$ . Για τον συγκεκριμένο φάκελο λύστε το θέμα για την περίπτωση $(a+\sqrt{a+1})^2$ .

Για την αρχική παρατήρηση μελετήστε - για θετικό ακέραιο - την περίπτωση $(\sqrt{a+2}+\sqrt{a+1})^2$

και : $(\sqrt{a+2}+\sqrt{a+1})^4$ , ως προς την εγγύτητα του ρητού και άρρητου μέρους .

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 23, 2024 8:12 am
Προφανώς υπάρχει λάθος στην εκφώνηση της άσκησης αφού το ρητό μέρος είναι αδύνατον να είναι ίσο με το άρρητο

Θανάση, γράφοντας την λύση χθες το είδα αυτό αλλά δεν το θεώρησα προβληματικό γιατί θεώρησα ότι μπορούμε να ονομάσουμε "άρρητο" εκείνο το μέρος που έχει το ριζικό άσχετα αν αργότερα, για κάποια

, διαπιστώσουμε ότι είναι ρητός. Κάνει ανάλογο γίνεται και τώρα, στην νέα εκδοχή της άσκησης: Ονομάζουμε ρητό μέρος ένα τμήμα της παράστασης (αυτό που δεν έχει ριζικό) το οποίο αργότερα διαπιστώνουμε ότι είναι άρρητος αριθμός. Ας δούμε τις λεπτομέρειες

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 23, 2024 8:12 am
Αν λοιπόν : άρρητος με : και το $(a+\sqrt{a+1})^4$ , ισούται με $A+B\sqrt{a+1}$ , υπάρχει περίπτωση

να είναι $A=B\sqrt{a+1} ;$ . Για τον συγκεκριμένο φάκελο λύστε το θέμα για την περίπτωση $(a+\sqrt{a+1})^2$ .

Είναι $(a+\sqrt{a+1})^2 = a^2+a+1+2a\sqrt{a+1}$ . Παρατηρούμε (στην πραγματικότητα έλυσα μία εξίσωση) ότι για $a=\phi$ , έχουμε από την ιδιότητα $\phi ^2 = \phi +1$ ότι

$a^2+a+1=\phi ^ 2+ (\phi + 1) = 2\phi ^2 = 2\phi \phi = 2\phi \sqrt {\phi +1} = 2a\sqrt{a+1}$ , δηλαδή υπάρχει περίπτωση να ισχύει $A=B\sqrt{a+1}$

Ρητό μέρος

Ρητό μέρος

Re: Ρητό μέρος

Re: Ρητό μέρος

Re: Ρητό μέρος

Μέλη σε σύνδεση