Ο βαθμός ανεβαίνει

KARKAR · #1

Αν για τους θετικούς a , b

ισχύει : $2a^5-a\geq b^3$ , δείξτε ότι : $a^6\geq b^2$ .

#2

θέτω

οπότε με υπόθεση $2a^5-a\geq x^9$ θα δείξω ότι $a\geq x$

Aς είναι a<x

Αφού $2a^5-a\geq x^9$ είναι $2a^5-a\geq 0$ άρα $2a^4-1\geq 0$ . Η υπόθεση a<x

δίνει

οπότε και

. Αλλά $x^9 \geq 2x^5-x$ ,αφού ισοδύναμα $x(x^4-1)^2\geq0$ , άρα 2a^5-a<x^9

, άτοπο. Επομένως $a\geq x$ κ.λπ.

ksofsa · #3

Μια λύση εκτός σχολικής ύλης:

Από υπόθεση:

$2a^5\geq a+b^3\geq 2\sqrt{ab^3}\Rightarrow a^5\geq \sqrt{ab^3}\Rightarrow a^{10}\geq ab^3\Rightarrow$

$a^9\geq b^3\Rightarrow a^3\geq b\Rightarrow a^6\geq b^2$ .

#4

ksofsa έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 28, 2023 5:31 pm
Μια λύση εκτός σχολικής ύλης:

Από υπόθεση:

$2a^5\geq a+b^3\geq 2\sqrt{ab^3}\Rightarrow a^5\geq \sqrt{ab^3}\Rightarrow a^{10}\geq ab^3\Rightarrow$

$a^9\geq b^3\Rightarrow a^3\geq b\Rightarrow a^6\geq b^2$ .

Εντός ύλης είναι.

ksofsa · #5

Έχετε δίκιο.

Απλά να προσθέσω για τους μαθητές που παρακολουθούν ότι η ανισότητα $a+b^3\geq 2\sqrt{ab^3}$ προκύπτει από την ανισότητα $x^2+y^2\geq 2xy$ , που ισχύει γιατί ισοδυναμεί με $(x-y)^2\geq 0$ .

Αλλιώς (εξωσχολικά), από ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου.

Ο βαθμός ανεβαίνει

Ο βαθμός ανεβαίνει

Re: Ο βαθμός ανεβαίνει

Re: Ο βαθμός ανεβαίνει

Re: Ο βαθμός ανεβαίνει

Re: Ο βαθμός ανεβαίνει

Μέλη σε σύνδεση