Όχι με δοκιμή

KARKAR · #1

$\bigstar$ Η ακολουθία : 16 , 33 , 50 , 67 , ...

είναι ασφαλώς μια αριθμητική πρόοδος .

Παρατηρήστε , ότι ο $a_{1}$ είναι τέλειο τετράγωνο . Μπορείτε να βρείτε τους τρεις

επόμενους όρους της προόδου , οι οποίοι είναι επίσης τέλεια τετράγωνα ;

M.S.Vovos · #2

Ψάχνουμε επί της ουσίας τις θετικές ακέραιες λύσεις (n,m)

της εξίσωσης $\displaystyle{16+17(n-1)=m^{2}\Leftrightarrow n=\frac{m^{2}+1}{17}}$ . Αυτό σημαίνει ότι πρέπει $\displaystyle{17\mid m^{2}+1}$ άρα το $m^{2}+1$ είναι πολλαπλάσιο του

. Με δοκιμές βρίσκουμε ότι ότι οι ζητούμενοι όροι της ακολουθίας είναι ο

ος, ο

ος και ο

ος. Αντίστοιχα, $a_{10}=169,\ a_{26}=441, \ a_{53}=900$ .

#3

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 18, 2022 1:18 pm
... Με δοκιμές βρίσκουμε...

Μπορούμε και χωρίς δοκιμές, όπως άλλωστε ρητά ζητάει η άσκηση.

Επειδή η άσκηση είναι ακόμα ανοικτή σε μαθητές, θα περιμένω να περάσουν οι 24 ώρες που έχει θέσει ο θεματοθέτης.

M.S.Vovos · #4

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 18, 2022 1:21 pm

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 18, 2022 1:18 pm
... Με δοκιμές βρίσκουμε...
Μπορούμε και χωρίς δοκιμές, όπως άλλωστε ρητά ζητάει η άσκηση.

Επειδή η άσκηση είναι ακόμα ανοικτή σε μαθητές, θα περιμένω να περάσουν οι 24 ώρες που έχει θέσει ο θεματοθέτης.

Κ. Μιχάλη αλλιώς το κατάλαβα το "χωρίς δοκιμές" συγγνώμη. Αλλά που υπάρχει περιορισμός 24ώρου.

#5

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 18, 2022 1:28 pm
...Αλλά που υπάρχει περιορισμός 24ώρου.

Εκεί θα σου δώσω δίκιο. Ο θεματοθέτης Θανάσης έχει τον δικό του κώδικα επικοινωνίας σύμφωνα με τον οποίο όταν βάζει ένα αστέρι $\bigstar$ στην αρχή της εκφώνησης, εννοεί περιορισμό

ωρών για να ασχοληθούν οι μαθητές. Εννοείται ότι προκύπτει το ερώτημα από πού οφείλει να το ξέρει ο καθένας; Για παράδειγμα πώς θα το καταλάβει ένα νέο μέλος στο φόρουμ. Από την άλλη, η θεματοδότηση από τον Θανάση είναι τόσο πλούσια που τέτοια πρακτική, την οποία άλλωστε υιοθετεί καιρό τώρα, είναι απόλυτα κατανοητή και συγχωρείται αβίαστα.

#6

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 17, 2022 8:30 pm
$\bigstar$ Η ακολουθία : είναι ασφαλώς μια αριθμητική πρόοδος .

Παρατηρήστε , ότι ο $a_{1}$ είναι τέλειο τετράγωνο . Μπορείτε να βρείτε τους τρεις

επόμενους όρους της προόδου , οι οποίοι είναι επίσης τέλεια τετράγωνα ;

Για κάθε

μη μηδενικό φυσικό ο γενικός όρος της προόδου γράφεται :

${a_n} = 16 + \left( {n - 1} \right)17 = 17n - 1\,\,\left( 1 \right)$ .

Προφανώς ${a_{10}} = 170 - 1 = 169 = {13^2}$ . Δηλαδή ${a_{10}} = {13^2}$ $\left( 2 \right)$

Έστω ότι υπάρχει $k \in {\mathbb{N}^ * }$ με ${a_k} = {a^2} \Leftrightarrow 17k = {a^2} + 1\,\,\left( 3 \right)$ ,

φυσικός.

Θα δείξω ότι υπάρχει n > k

με ${a_n} = {\left( {a + 17} \right)^2}$ . Δηλαδή

$17n - 1 = {\left( {a + 17} \right)^2} \Leftrightarrow 17n = {a^2} + 2a \cdot 17 + {17^2} + 1$ ή λόγω της $\left( 3 \right)$

$17n = 17k + 2 \cdot 17a + {17^2} \Leftrightarrow \boxed{n = k + 2a + 17}$

Μετά απ’ αυτά: $\displaystyle {a_{10}} = {13^2}\,\,,\,\,{a_{1 + 2 \cdot 4 + 17}} = {a_{26}} = {\left( {4 + 17} \right)^2} = {21^2}\,,{a_{10 + 2 \cdot 13 + 17}} = {a_{53}} = {\left( {13 + 17} \right)^2} = {30^2}\,$

Με όμοιο τρόπο :

$\left\{ \begin{gathered} {a_{26 + 2 \cdot 21 + 17}} = {a_{85}} = {\left( {21 + 17} \right)^2} = {38^2} \hfill \\ {a_{53 + 2 \cdot 30 + 17}} = {a_{130}} = {\left( {30 + 17} \right)^2} = {47^2} \hfill \\ {a_{85 + 2 \cdot 38 + 17}} = {a_{178}} = {\left( {38 + 17} \right)^2} = {55^2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ κ. λ. π.

Εν κατακλείδι μπορούμε να το πούμε :

Οι δύο πρώτες βάσεις το τελείων τετραγώνων είναι :

${b_1} = 4\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{b_2} = 13$ και μετά , για κάθε $n \geqslant 3$ έχω: $\boxed{{b_n} = {b_{n - 2}} + 17}$ .

#7

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 17, 2022 8:30 pm
$\bigstar$ Η ακολουθία : είναι ασφαλώς μια αριθμητική πρόοδος .

Παρατηρήστε , ότι ο $a_{1}$ είναι τέλειο τετράγωνο . Μπορείτε να βρείτε τους τρεις

επόμενους όρους της προόδου , οι οποίοι είναι επίσης τέλεια τετράγωνα ;

To ζητούμενο γράφεται a_n=16+17(n-1) = a^2

για κάποιον φυσικό

. Άρα

που σημαίνει ότι o πρώτος

διαιρεί είτε τον a+4

ή τον

.

Με άλλα λόγια είναι είτε a=17k-4

ή

. Άρα

ή

, ισοδύναμα n = 17k^2-8k+1

ή

.

Για $k=1,\,2,\, 3,\, ...$ βρίσκουμε διαδοχικά τα αντίστοιχα

και από εκεί τα a_n

ως εξής:

$a_{10} = 13^2,\, a_{26}= 21^2,\, a_{53}=30^2,\, a_{85}=38^2,\, a_{130} = 47^2,\, a_{178}=55^2,\, a_{241}=64^2,...$

Γενικά $a_{17k^2\pm 8k+1}= (17k\pm 4)^2$

Όχι με δοκιμή

Όχι με δοκιμή

Re: Όχι με δοκιμή

Re: Όχι με δοκιμή

Re: Όχι με δοκιμή

Re: Όχι με δοκιμή

Re: Όχι με δοκιμή

Re: Όχι με δοκιμή

Μέλη σε σύνδεση