Εξίσωση

Tolaso J Kos · #1

Δίδεται η συνάρτηση f(x)=x^2+14x+42

. Να λυθεί η εξίσωση:

$\displaystyle{\underbrace{f\left ( f\left ( f \left ( \cdots \left (f \left ( x \right ) \right ) \right ) \right ) \right )}_{\nu \quad \text{\gr φορές} } = 0}$

Σταμ. Γλάρος · #2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 01, 2018 9:24 pm
Δίδεται η συνάρτηση . Να λυθεί η εξίσωση:

$\displaystyle{\underbrace{f\left ( f\left ( f \left ( \cdots \left (f \left ( x \right ) \right ) \right ) \right ) \right )}_{\nu \quad \text{\gr φορές} } = 0}$

Καλησπέρα. Μια προσπάθεια...
Η εξίσωση f(x)=0

έχει τις λύσεις $x_{1}=-7+\sqrt{7}$ και $x_{2}=-7-\sqrt{7}$ .
Θέτοντας όπου f(x)=w

έχουμε ότι η εξίσωση: f(f(x))=0

$\Leftrightarrow$ f(w)=0

η οποία έχει τις λύσεις $w_{1}=-7+\sqrt{7}$ και $w_{2}=-7-\sqrt{7}$ .

Αντικαθιστώντας έχουμε $f(x) = -7+\sqrt{7}$ $\Leftrightarrow$ $x^2+14x+42 = -7+\sqrt{7}$
$\Leftrightarrow$ $x^2+14x+49 = \sqrt{7}$ $\Leftrightarrow$ $(x+7)^2 = \sqrt{7}$ .
Η τελευταία έχει ρίζες : $x_{1}=-7+\sqrt[4]{7}$ και $x_{2}=-7-\sqrt[4]{7}$ .
Η f(x)=w_2

είναι αδύνατη.

Τώρα για Α΄Λυκείου μπορούμε να πούμε ότι ομοίως έχουμε λύσεις της $\displaystyle{\underbrace{f\left ( f\left ( f \left ( \cdots \left (f \left ( x \right ) \right ) \right ) \right ) \right )}_{\nu \quad \text{\gr φορές} } = 0}$
τις $x_{1}=-7+\sqrt[2\nu ]{7}$ και $x_{2}=-7-\sqrt[2\nu ]{7}$ ;
Κανονικά αυτό αποδεικνύεται με επαγωγή...

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Νίκος Ζαφειρόπουλος · #3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 01, 2018 9:24 pm
Δίδεται η συνάρτηση . Να λυθεί η εξίσωση:

$\displaystyle{\underbrace{f\left ( f\left ( f \left ( \cdots \left (f \left ( x \right ) \right ) \right ) \right ) \right )}_{\nu \quad \text{\gr φορές} } = 0}$

Είναι $f(f(...f(x)))=(x+7)^{2^v}-7$ , κάτι που χρειάζεται φυσικά απόδειξη και δεν βλέπω πως αυτό μπορεί να γίνει με ύλη Α Λυκείου.

Άρα $x=-7\pm \sqrt[2^v]{7}$

Εξίσωση

Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση