Ανεξάρτητη των πλευρών

Tolaso J Kos · #1

Έστω $\alpha, \beta, \gamma$ οι πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου με $\alpha > \beta > \gamma$ . Δείξατε ότι η τιμή της παράστασης

$\displaystyle{\mathcal{A} = \sqrt{\alpha^2 - \sqrt{\beta^2 \left ( \beta^2+2\gamma^2 \right ) + \gamma^4}} \cdot \sqrt{\alpha^2 + \sqrt{\beta^2 \left ( \beta^2+2\gamma^2 \right ) + \gamma^4}} }$ είναι ανεξάρτητη των $\alpha , \beta , \gamma$ .

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 06, 2017 1:08 pm
Έστω $\alpha, \beta, \gamma$ οι πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου με $\alpha > \beta > \gamma$ . Δείξατε ότι η τιμή της παράστασης

$\displaystyle{\mathcal{A} = \sqrt{\alpha^2 - \sqrt{\beta^2 \left ( \beta^2+2\gamma^2 \right ) + \gamma^4}} \cdot \sqrt{\alpha^2 + \sqrt{\beta^2 \left ( \beta^2+2\gamma^2 \right ) + \gamma^4}} }$ είναι ανεξάρτητη των $\alpha , \beta , \gamma$ .

Είναι $\displaystyle {\alpha ^2} = {\beta ^2} + {\gamma ^2},$ οπότε

$\displaystyle {\rm A} = \sqrt {{\alpha ^2} - \sqrt {{\beta ^2}({\alpha ^2} + {\gamma ^2}) + {\gamma ^4}} } \cdot \sqrt {{\alpha ^2} + \sqrt {{\beta ^2}({\alpha ^2} + {\gamma ^2}) + {\gamma ^4}} }$

$\displaystyle {\rm A} = \sqrt {{\alpha ^4} - {{(\sqrt {{\beta ^2}({\alpha ^2} + {\gamma ^2}) + {\gamma ^4}} )}^2}} = \sqrt {{\alpha ^4} - {\beta ^2}({\alpha ^2} + {\gamma ^2}) - {\gamma ^4}}$

$\displaystyle {\rm A} = \sqrt {({\alpha ^2} + {\gamma ^2})({\alpha ^2} - {\gamma ^2}) - {\beta ^2}({\alpha ^2} + {\gamma ^2})} = \sqrt {({\alpha ^2} + {\gamma ^2})({\alpha ^2} - {\gamma ^2} - {\beta ^2})}$

$\displaystyle {\rm A} = \sqrt {({\alpha ^2} + {\gamma ^2})({\alpha ^2} - {\alpha ^2})} = 0$

#3

Λίγο αλλιώς: Από a^2=b^2+c^2

, το πρώτο ριζικό γράφεται

$\displaystyle \sqrt {a ^2 - \sqrt {{ b ^2(a ^2 +c ^2) + c ^4} }} = \sqrt {a ^2 - \sqrt {{ b ^2(b ^2 +2c ^2) + c ^4} }}$
$\displaystyle = \sqrt {a ^2 - \sqrt {{ (b ^2 +c ^2)^2} } } = \sqrt {a ^2 - (b ^2 +c ^2) } =0}$

από όπου A=0

Ανεξάρτητη των πλευρών

Ανεξάρτητη των πλευρών

Re: Ανεξάρτητη των πλευρών

Re: Ανεξάρτητη των πλευρών

Μέλη σε σύνδεση