17 Α-Άλγεβρα

Α.Κυριακόπουλος · #1

Να λυθεί η εξίσωση:
$\left| {x - |x - 1|} \right| = (\lambda - 1)x + 1$ (1)
στην οποία

είναι ο άγνωστος και $\lambda \in \mathbb{R}$ παράμετρος.

#2

Καλό βράδυ Αντώνη

Λέω να πάρω περιπτώσεις (δεν είδα κάτι καλύτερο)

(1) Aν $\displaystyle{\lambda =1}$ , τότε η δοσμένη εξίσωση ισοδύναμα γράφεται:

$\displaystyle{|x-|x-1||=1\Leftrightarrow x-|x-1|=1}$ , ή $\displaystyle{x=|x-1|=-1}$ και εύκολα βρίσκουμε ότι $\displaystyle{x\epsilon [1,+\propto)U$ {0}

(2) Aν $\displaystyle{\lambda \neq 1}$ , τότε :

(2α) Για $\displaystyle{x\geq 1}$ , η δοσμένη εξίσωση ισοδύναμα γράφεται: $\displaystyle{1=(\lambda -1)x+1\Leftrightarrow x=0,}$ που απορρίπτεται. Δηλαδή δεν έχουμε λύση σε αυτήν την περίπτωση

(2β) Για $\displaystyle{x< 1}$ , η εξίσωση ισοδύναμα γράφεται: $\displaystyle{|2x-1|=(\lambda -1)x+1}$ . Kαι πάλι δύο υποπεριπτώσεις:

(ι) Αν $\displaystyle{\frac{1}{2}\leq x <1}$ .

Τότε η πιο πάνω εξίσωση ισοδύναμα γράφεται: $\displaystyle{2x-1=(\lambda -1)x+1\Leftrightarrow (\lambda -3)x=-2}$

Aν $\displaystyle{\lambda \neq 3,}$ τότε $\displaystyle{x=-\frac{2}{\lambda -3}}$

Πρέπει όμως $\displaystyle{\frac{1}{2}\leq -\frac{2}{\lambda -3}<1}$ , από όπου βρίσκουμε ότι $\displaystyle{\lambda <1}$ , ή $\displaystyle{\lambda \geq 7}$ . Αν $\displaystyle{x < \frac{1}{2}}$ , τότε έχουμε $\displaystyle{(\lambda +1)x=0}$ , οπότε αν $\displaystyle{\lambda =-1}$ , λύση είναι κάθε $\displaystyle{x<\frac{1}{2}}$ , ενώ αν $\displaystyle{\lambda \neq -1}$ , λύση είναι η $\displaystyle{x=0}$

Έγινε ένα λάθος στις πράξεις (το σημείωσα με κόκκινο). Το σωστό είναι στην επόμενη απάντηση του μέλους μας.

orestisgotsis · #3

ΠΕΡΙΤΤΑ

Α.Κυριακόπουλος · #4

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:Να λυθεί η εξίσωση:
$\left| {x - |x - 1|} \right| = (\lambda - 1)x + 1$ (1)
στην οποία είναι ο άγνωστος και $\lambda \in \mathbb{R}$ παράμετρος.

Δημήτρη, σε ευχαριστώ που ασχολήθηκες με την άσκηση. Επίσης ευχαριστώ και τον Ορέστη. Η δική μου λύση είναι η παρακάτω.
Λύση. Το σύνολο ορισμού της εξίσωσης είναι το $\mathbb{R}$ . Για κάθε $x\ge 1$ ,έχουμε:
$\left| {x - |x - 1|} \right| = |x - x + 1| = 1$
και για κάθε x<1

, έχουμε:
$\left| {x - |x - 1|} \right| = |x + x - 1| = |2x - 1|\left\{ \begin{array}{l} = 2x - 1,{\rm{ }}\alpha \nu x \ge 1/2 \\ = - 2x + 1, \alpha \nu x < 1/2 \\ \end{array} \right.$
Συμπεραίνουμε ότι το σύνολο λύσεων της ανίσωσης (1) είναι η ένωση των συνόλων λύσεων των παρακάτω τριών συστημάτων:
$(I)\left\{ \begin{array}{l} x \ge 1 \\ 1 = (\lambda - 1)x + 1 \\ \end{array} \right.{\rm{ (II)}}\left\{ \begin{array}{l} 1/2 \le x < 1 \\ 2x - 1 = (\lambda - 1)x + 1 \\ \end{array} \right.$ $(III)\left\{ \begin{array}{l} x < 1/2 \\ - 2x + 1 = (\lambda - 1)x + 1 \\ \end{array} \right.$
Επίλυση του συστήματος (I). Έχουμε:
$(I) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge 1 \\ (\lambda - 1)x = 0 \\ \end{array} \right.(I')$
Προφανώς το σύστημα (I’) με $\lambda \ne 1$ είναι αδύνατο και με $\lambda =1$ έχει τις λύσεις: $x\ge 1$ .
Επίλυση του συστήματος (II). Έχουμε:
$(II) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1/2 \le x < 1 \\ (\lambda - 3)x = - 2 \\ \end{array} \right.(II')$
Το σύστημα (II’) με $\lambda =3$ είναι αδύνατο. Με $\lambda \ne 3$ , έχουμε:
$(II') \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{2} \le x < 1 \\ x = \frac{{ - 2}}{{\lambda - 3}} \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{2} \le \frac{{ - 2}}{{\lambda - 3}} < 1(2) \\ x = \frac{{ - 2}}{{\lambda - 3}} \\ \end{array} \right.(II'')$
Έχουμε (με $\lambda \ne 3$ ):
${\rm{ }}\frac{1}{2} \le \frac{{ - 2}}{{\lambda - 3}} < 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{{\lambda + 1}}{{\lambda - 3}} \le 0 \\ \frac{{\lambda - 1}}{{\lambda - 3}} > 0 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} (\lambda + 1)(\lambda - 3) \le 0 \\ (\lambda - 1)(\lambda - 3) > 0 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 \le \lambda < 3 \\ \left( {\lambda < 1{\rm{ }}\lambda {\rm{ > 3}}} \right) \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow - 1 \le \lambda < 1.$
Έτσι το σύστημα αυτό με $- 1 \le \lambda < 1$ έχει τη λύση: $x = \frac{{ - 2}}{{\lambda - 3}}$ , ενώ για τις άλλες τιμές του $\lambda$ είναι αδύνατο.
Επίλυση του συστήματος (III). Έχουμε:
$(III) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x < \frac{1}{2} \\ (\lambda + 1)x = 0 \\ \end{array} \right.(III')$
Το σύστημα (III) με $\lambda \ne - 1$ έχει τη λύση x=0

και με $\lambda =-1$ έχει τις λύσεις $x<\frac{1}{2}$ .
Συνοπτικά:
• $\lambda \prec -1$ : x=0

(από το σύστημα III).
• $\lambda =-1$ : $x\le \frac{1}{2}$ (από τα συστήματα II και III).
• $-1<\lambda <1$ : x=0

και $x=\frac{-2}{\lambda -3}$ (από τα συστήματα II και III),
• $\lambda =1:x=0$ και $x\ge 1$ (από τα συστήματα I και ΙΙΙ).
• $\lambda >1:x=0$ (από το σύστημα III).

17 Α-Άλγεβρα

17 Α-Άλγεβρα

Re: 17 Α-Άλγεβρα

Re: 17 Α-Άλγεβρα

Re: 17 Α-Άλγεβρα

Μέλη σε σύνδεση