Ευκολοφανής

KARKAR · #1

Βρείτε την ελάχιστη τιμή του πραγματικού

, για την οποία

η εξίσωση : $\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{y}=\dfrac{k}{x+y}$ , έχει πραγματικές λύσεις .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 02, 2024 8:37 pm
Βρείτε την ελάχιστη τιμή του πραγματικού , για την οποία

η εξίσωση : $\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{y}=\dfrac{k}{x+y}$ , έχει πραγματικές λύσεις .

Θα το κάνω για θετικές λύσεις x,y

γιατί αν επιτρέψουμε και αρνητικές, τότε δεν υπάρχει ελάχιστη τιμή του

(είναι, τρόπος του λέγειν το "

ίσον μείον άπειρο"). Πράγματι για x=1

και οποιοδήποτε μεγάλο αρνητικό

ορίζω το

από την ισότητα

$\dfrac{1}{1}+\dfrac{4}{-M}=\dfrac{k}{1-M}$ , ισοδύναμα $k =- \dfrac {(M-1)(M-4)}{M}$ .

Είναι σαφές ότι γι' αυτό το

η δοθείσα εξίσωση έχει λύση, την x=1,y=-M

. Τέλος, παρατηρούμε ότι το $k =- \dfrac {(M-1)(M-4)}{M} \rightarrow -\infty$ καθώς $M \to \infty$ .

Μένουμε, λοιπόν, σε θετικές λύσεις x,y

.

Έχουμε από την αρχική

$k= \left (\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{y}\right ) (x+y)= 5 + \dfrac{4x}{y}+ \dfrac{y}{x}\ge 5+ 2\sqrt { \dfrac{4x}{y}\cdot \dfrac{y}{x}}=9$ με ισότητα όταν x=1,y=2

.

Με άλλα λόγια αποκλείεται η δοθείσα εξίσωση να έχει θετικές λύσεις αν k<9

, αλλά για k=9

είναι εντάξει. 'Αρα το μικρότερο

είναι το

.

KARKAR · #3

Σίγουρα η αρχική εκφώνηση έχει πρόβλημα αφού η δοθείσα εξίσωση έχει πραγματικές λύσεις και για : $k\leq 1$ .

Π.χ η : $\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{y}=\dfrac{1}{x+y}$ , έχει λύση το ζεύγος (x , y)=(-3 , 6)

.

Όμως και για $k\geq 9$ , η εξίσωση έχει και αρνητικές λύσεις .

Π.χ η : $\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{y}=\dfrac{9}{x+y}$ , έχει λύση το ζεύγος (x , y)=(-2 , -4)

.

Σκέφτομαι λοιπόν μήπως μια σωστή εκφώνηση είναι η εξής :

Βρείτε την ελάχιστη τιμή του πραγματικού

, για την οποία η εξίσωση :

$\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{y}=\dfrac{k}{x+y}$ , έχει λύσεις ζεύγη ομοσήμων πραγματικών .

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 03, 2024 11:14 am
Όμως και για $k\geq 9$ , η εξίσωση έχει και αρνητικές λύσεις .

Σωστά. Άλλωστε για κάθε

που η εξίσωση έχει ζεύγος θετικών λύσεων (x,y)

, τότε θα έχει και αρνητικό ζεύγος: Το (-x,-y)

(άμεσο). Φυσικά, ισχύει και το αντίστροφο.

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 03, 2024 11:14 am

Σκέφτομαι λοιπόν μήπως μια σωστή εκφώνηση είναι η εξής :

Βρείτε την ελάχιστη τιμή του πραγματικού , για την οποία η εξίσωση :

$\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{y}=\dfrac{k}{x+y}$ , έχει λύσεις ζεύγη ομοσήμων πραγματικών .

.
Ναι, και αυτή η εκφώνηση έχει ενδιαφέρον. Η απάντηση είναι ότι το ελάχιστο

είναι το

(όπως πριν). Πράγματι, αν έχει ομόσημες λύσεις τότε από την παρατήρηση λίγες γραμμές παραπάνω, σίγουρα θα έχει δύο θετικές. Άρα εφαρμόζεται η λύση στο ποστ #

, που δίνει την απάντηση

.

Edit αργότερα: Έκανα προσθήκη των τελευταίων δύο γραμμών.

Ευκολοφανής

Ευκολοφανής

Re: Ευκολοφανής

Re: Ευκολοφανής

Re: Ευκολοφανής

Μέλη σε σύνδεση