Το σύνολο Q

Lymperis Karras · #1

margk έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 24, 2021 7:31 pm
Αν δώσουμε το σύνολο Q των ρητών αριθμών με περιγραφή των στοιχείων του ως εξής:
$Q=\left \{ \frac{a}{b} |a , b\in Z,b\neq 0 \right \}$ είναι σωστό ;
Ρωτάω διότι με αυτή την περιγραφή θεωρούμε ως στοιχεία του Q ,για παράδειγμα τα κλάσματα $\frac{1}{2},\frac{2}{4}$
που όμως είναι ίσα. Γνωρίζουμε ότι τα στοιχεία ενός συνόλου πρέπει να είναι διακεκριμένα.

Απλά γράφεις και ότι gcd(a,b)=1

και τελείωσες.

#2

margk έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 24, 2021 7:31 pm
Αν δώσουμε το σύνολο Q των ρητών αριθμών με περιγραφή των στοιχείων του ως εξής:
$Q=\left \{ \frac{a}{b} |a , b\in Z,b\neq 0 \right \}$ είναι σωστό ;
Ρωτάω διότι με αυτή την περιγραφή θεωρούμε ως στοιχεία του Q ,για παράδειγμα τα κλάσματα $\frac{1}{2},\frac{2}{4}$
που όμως είναι ίσα. Γνωρίζουμε ότι τα στοιχεία ενός συνόλου πρέπει να είναι διακεκριμένα.

Μια χαρά είναι.

#3

margk έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 24, 2021 9:08 pm
Δηλαδή achilleas , αν γράψω με αναγραφή στοιχείων το Q μπορώ να γράψω και τα δυο κλάσματα $\frac{1}{2} , \frac{2}{4};$
Να πω πάντως ότι τον ορισμό που έδωσα τον έχει και το σχολικό βιβλίο της Γ' Λυκείου.

Όχι, δεν χρειάζεται να γράψεις και τα δύο. Αλλά ποτέ δεν γράφουμε τα στοιχεία του $\mathbb{Q}$ με αναγραφή, αφού είναι άπειρα το πλήθος.

Σκέψου το και ως εξής: κάθε ρητός αριθμός ανήκει στο $\left \{ \frac{a}{b} |a , b\in \mathbb{Z},b\neq 0 \right \}$ . Αλλά και κάθε στοιχείο του $\left \{ \frac{a}{b} |a , b\in \mathbb{Z},b\neq 0 \right \}$ είναι ρητός αριθμός.

Συνεπώς, το σύνολο των ρητών και το $\left \{ \frac{a}{b} |a , b\in \mathbb{Z},b\neq 0 \right \}$ είναι ίσα σύνολα.

Al.Koutsouridis · #4

Νομίζω είναι σωστό. Χρησιμοποιείται η παράσταση συνόλου με περιγραφή, όπως την έχει στο σχολικό βιβλίο της Α' Λυκείου, απλά υπονοούνται μερικά σημεία.

Η παράσταση συνόλου με περιγραφή γενικά είναι $\left \{ x \in \Omega | x \quad$ έχει την ιδιότητα

}

$\Omega$ στην περίπτωσή μας είναι το σύνολο των αριθμών και η ιδιότητα

, ότι μπορούν να γραφούν στην μορφή $\dfrac{a}{b}, \quad$ με $a , b\in \mathbb{Z}, b\neq 0$ .

Δεν πρέπει να συγχέεται με το σύνολο συμβόλων της μορφής: κάποιος αριθμός, κλασματική γραμμή, κάποιος αριθμός. Τα οποία δεν είναι αριθμοί.

#5

margk έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 24, 2021 9:46 pm

achilleas έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 24, 2021 9:22 pm

margk έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 24, 2021 9:08 pm
Δηλαδή achilleas , αν γράψω με αναγραφή στοιχείων το Q μπορώ να γράψω και τα δυο κλάσματα $\frac{1}{2} , \frac{2}{4};$
Να πω πάντως ότι τον ορισμό που έδωσα τον έχει και το σχολικό βιβλίο της Γ' Λυκείου.
Όχι, δεν χρειάζεται να γράψεις και τα δύο. Αλλά ποτέ δεν γράφουμε τα στοιχεία του $\mathbb{Q}$ με αναγραφή, αφού είναι άπειρα το πλήθος.
Προφανώς και δεν θα γράψει κάποιος το σύνολο Q με αναγραφή όλων των στοιχείων του αλλά ο ορισμός που έγραψα μου δίνει την δυνατότητα να πω ότι δυο ίσα κλάσματα είναι διαφορετικά στοιχεία του Q αφού για προκύπτει το $\frac{1}{2}$ ενώ για
το $\frac{2}{4}$ . .Αρα είναι στοιχεία του Q οπότε δεν μπορεί να είναι ίσα.

Σκέψου το και ως εξής: κάθε ρητός αριθμός ανήκει στο $\left \{ \frac{a}{b} |a , b\in \mathbb{Z},b\neq 0 \right \}$ . Αλλά και κάθε στοιχείο του $\left \{ \frac{a}{b} |a , b\in \mathbb{Z},b\neq 0 \right \}$ είναι ρητός αριθμός.

Συνεπώς, το σύνολο των ρητών και το $\left \{ \frac{a}{b} |a , b\in \mathbb{Z},b\neq 0 \right \}$ είναι ίσα σύνολα.

Για να αποφύγω την σύγχυση θα το έγραφα

$\{$ $x\in \mathbb{R}: x=a/b,$ για κάποια $a,b \in \mathbb{Z}\}$

S.E.Louridas · #6

margk έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 24, 2021 7:31 pm
Αν δώσουμε το σύνολο Q των ρητών αριθμών με περιγραφή των στοιχείων του ως εξής:
$Q=\left \{ \frac{a}{b} |a , b\in Z,b\neq 0 \right \}$ είναι σωστό ;
Ρωτάω διότι με αυτή την περιγραφή θεωρούμε ως στοιχεία του Q ,για παράδειγμα τα κλάσματα $\frac{1}{2},\frac{2}{4}$
που όμως είναι ίσα. Γνωρίζουμε ότι τα στοιχεία ενός συνόλου πρέπει να είναι διακεκριμένα.

Μήπως και διευκολύνουμε την κατανόηση της «συνύπαρξης» στο ίδιο σύνολο.

Κάθε στοιχείο $\left( {a,b} \right)$ του καρτεσιανού γινομένου $\displaystyle{{\Bbb Z}\;x\;{{\Bbb Z}^ * }}$ ονομάζεται κλάσμα με αριθμητή το

και παρονομαστή το

και συνήθως το συμβολίζουμε $\displaystyle{\frac{a}{b}.}$ Υπενθυμίζουμε εδώ ότι: $\left( {a,b} \right) = \left( {c,d} \right) \Leftrightarrow \left[ {\left( {a = c} \right) \wedge \left( {b = d} \right)} \right].$

Εντός του καρτεσιανού γινομένου $\displaystyle{{\Bbb Z}x{{\Bbb Z}^ * }}$ ορίζεται μία σχέση ισοδυναμίας $\displaystyle{r}$ ως εξής: $\displaystyle{\frac{a}{b}r\frac{c}{d} \Leftrightarrow ad = bc,}$ άρα π.χ. τα κλάσματα $\displaystyle{\frac{1}{2},\;\frac{2}{4}}$ είναι ισοδύναμα.

Έτσι έχουμε μία διαμέριση του $\displaystyle{{\Bbb Z}\;x\;{{\Bbb Z}^ * }}$ σε κλάσεις ή τάξεις ισοδυναμίας δηλαδή σε σύνολα που αποτελούνται

από ισοδύναμα μεταξύ τους στοιχεία με βάση την σχέση ισοδυναμίας $\displaystyle{r}$ και που βέβαια προκύπτει ότι η ένωση τους μας δίνει το σύνολο

και ότι ανά δύο είναι ξένα μεταξύ τους.

(*) Αν τώρα κάνουμε μία υπέρβαση προς την ανώτερη Άλγεβρα, η τάξη ισοδυναμίας $\displaystyle \ {C_{\frac{a}{b} } = \left\{ {\frac{x}{y}\;:\;ay = bx} \right\}}$ ονομάζεται ρητός αριθμός

και το σύνολο πηλίκο ${{\Bbb Z}\;x\;{{\Bbb Z}^ * } /r$ είναι το σύνολο των ρητών αριθμών που το συμβολίζουμε $\displaystyle{\mathbb{Q}.}$

Οι ρητοί αριθμοί λοιπόν $\displaystyle{\frac{1}{2},\;\frac{2}{4}}$ συνυπάρχουν στο σύνολο των ρητών αλλά απλά ανήκουν στην ίδια κλάση ή τάξη ισοδυναμίας με τον τρόπο που ορίστηκε.

Τελικά ο ορισμός που έδωσες είναι καλός.

#7

Γεια σας. Η περιγραφή υπάρχει και στο σχολικό βιβλίο. Είναι εντάξει αλλά στηρίζεται σε μία παραδοχή: Ότι έχουμε καθορίσει/ξέρουμε/αντιλαμβανόμαστε (διαλέξτε ad libitum) τι είναι οι πραγματικοί αριθμοί και ποιοι είναι οι ακέραιοι μέσα σε αυτούς. Έχοντας τους ακεραίους και την διαίρεση των παραγματικών καταλήγουμε στην παραπάνω περιγραφή. Δεδομένου ότι το αποτέλεσμα της διαίρεσης ορίζεται μονοσήμαντα δεν μας ενδιαφέρει αν δαιφορετικά ζεύγη ακεραίων οδηγούν στον ίδιο ρητό.
Αν όμως ακολουθήσουμε την επαλληλία κατασκευών
$\mathbb{N}\underset{(1)}{\rightarrow }\mathbb{Z}\underset{(2)}{\rightarrow }\mathbb{Q}\underset{(3)}{\rightarrow }\mathbb{R}$
τότε στο βήμα (2)

χρειάζεται ο ορισμός της σχέσης ισοδυναμίας που αναφέρει ο Σωτήρης. Βέβαια αυτό το σχήμα είναι περίπου αδύνατο να διδαχθεί σε σχολείο και πολύ δύσκολο να διδαχθεί ακόμη και σε πρωτοετείς φοιτητές Μαθηματικών.
Θα πρότεινα η συζήτηση αυτή να μεταφερθεί σε άλλο κατάλληλο φάκελο.

S.E.Louridas · #8

nsmavrogiannis έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 25, 2021 11:53 pm
Γεια σας. Η περιγραφή υπάρχει και στο σχολικό βιβλίο. Είναι εντάξει αλλά στηρίζεται σε μία παραδοχή: Ότι έχουμε καθορίσει/ξέρουμε/αντιλαμβανόμαστε (διαλέξτε ad libitum) τι είναι οι πραγματικοί αριθμοί και ποιοι είναι οι ακέραιοι μέσα σε αυτούς. Έχοντας τους ακεραίους και την διαίρεση των παραγματικών καταλήγουμε στην παραπάνω περιγραφή. Δεδομένου ότι το αποτέλεσμα της διαίρεσης ορίζεται μονοσήμαντα δεν μας ενδιαφέρει αν δαιφορετικά ζεύγη ακεραίων οδηγούν στον ίδιο ρητό.
Αν όμως ακολουθήσουμε την επαλληλία κατασκευών
$\mathbb{N}\underset{(1)}{\rightarrow }\mathbb{Z}\underset{(2)}{\rightarrow }\mathbb{Q}\underset{(3)}{\rightarrow }\mathbb{R}$
τότε στο βήμα χρειάζεται ο ορισμός της σχέσης ισοδυναμίας που αναφέρει ο Σωτήρης. Βέβαια αυτό το σχήμα είναι περίπου αδύνατο να διδαχθεί σε σχολείο και πολύ δύσκολο να διδαχθεί ακόμη και σε πρωτοετείς φοιτητές Μαθηματικών.
Θα πρότεινα η συζήτηση αυτή να μεταφερθεί σε άλλο κατάλληλο φάκελο.

Ναι Νίκο.
Προσπάθησα με έναν τρόπο να πω ότι η έννοια της ισότητας είναι η έννοια της δυνατότητας ταύτισης, όπου στην περίπτωση της Γεωμετρίας είναι αποδεκτή καταρχάς και καταρχήν μόνο αν υπάρχει τρόπος τοποθέτησης των σχημάτων ώστε να ταυτιστούν και μιλώ για το περιβάλλον καθαρά του ορισμού λίγο πριν την δημιουργία κριτηρίων κτλ. Ως εκ τούτου είναι διαφορετική από την έννοια της ισοδυναμίας, πού όμως στην πράξη πολλές φορές τα ισοδύναμα μεγέθη τα θεωρούμε ως ίσα αφού δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα με βάση συγκεκριμένη ιδιότητα. Έτσι υπάρχει το ενδεχόμενο δύο μη ίσα τρίγωνα να είναι ισοδύναμα ως προς την έννοια του εμβαδού, δηλαδή να έχουν το ίδιο (ίσο) εμβαδό. Τα τρίγωνα όμως αυτά στο σύνολο των τριγώνων «κατέχουν» τις αποκλειστικές δικές τους θέσεις. Έτσι, και κατ' αναλογία σκέπτικού, παρόλο που τα κλάσματα $\left( {1,2} \right) \leftrightarrow \frac{1}{2},\;\left( {2,4} \right) \leftrightarrow \frac{2}{4}$ είναι ισοδύναμα, αφού $1 \cdot 4 = 2 \cdot 2$ , δεν είναι ίσα (και ας δίνουν επί «τω λαϊκότερω» το ίδιο αποτέλεσμα 0,5

)
Αυτό μάλιστα ίσως θα μπορούσε διδακτικά – οπτικά να δει κάποιος τοποθετώντας τα ζεύγη $\displaystyle{\left( {1,2} \right),\;\left( {2,4} \right)}$ στο επίπεδο ${{\Cal R}^2} = {\Cal R}\,x\,{\Cal R}$ , διαπιστώνοντας ότι δεν απεικονίζονται στο ίδιο σημείο. Έτσι έχουμε ισοδυναμία που στην πράξη την λέμε ισότητα κάνοντας μία μικρή υπέρβαση, ώστε να μην «εμπλέξουμε» τον μαθητή λόγω της χρονικής ηλικιακά στιγμής που αρχικά το διδάσκουμε.
Όπως όμως πολύ σωστά επεσήμανες, είναι δύσκολη έως πολύ δύσκολη η κατανοητή διδακτική προσέγγιση σε τέτοιες ηλικίες και όχι μόνο.

Al.Koutsouridis · #9

S.E.Louridas έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 26, 2021 11:36 am
Όπως όμως πολύ σωστά επεσήμανες, είναι δύσκολη έως πολύ δύσκολη η κατανοητή διδακτική προσέγγιση σε τέτοιες ηλικίες και όχι μόνο.

Δύσκολη και θέλει κατάλληλη επιλογή και προετοιμασία των μαθητών, αλλά όχι εντελώς ξένη. Παραθέτω παρακάτω το κομμάτι της λίστας "Πεδία" (για το τι εννοούμε λίστα βλέπε π.χ. εδώ). Η λίστα αυτή είναι η πρώτη της 9ης τάξης. Ξεκινάει με κάποιους ορισμούς και ιδιότητες των πεδίων τα οποία παραλείπω και παραθέτω μόνο τα σχετικά με την παρούσα συζήτηση.

Λίστα 14 Πεδία

...

Πρόβλημα 9. Αποτελεί άραγε πεδίο το σύνολο $M= \left \{ \left (a, b \right) | a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{N} \right \}$ εφοδιασμένο με τις ακόλουθες πράξεις:

α) $(p_{1},q_{1}) + (p_{2}, q_{2}) = (p_{1}+p_{2}, q_{1}+q_{2}$ ),
$\quad (p_{1}, q_{1}) \cdot (p_{2}, q_{2}) = (p_{1} \cdot p_{2}, q_{1} \cdot q_{2})$

β) $(p_{1},q_{1}) + (p_{2}, q_{2}) = (p_{1} \cdot q_{2} + q_{1} \cdot p_{2} , q_{1} \cdot q_{2})$ ,
$\quad (p_{1}, q_{1}) \cdot (p_{2}, q_{2}) = (p_{1} \cdot p_{2}, q_{1} \cdot q_{2})$ ;

Πρόβλημα 10. Έστω $M= \left \{ \left (a, b \right) | a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{N} \right \}$ . Εξετάζουμε στο

την ακόλουθη σχέση:

$(a,b) \sim (c,d) \Leftrightarrow ad=bc$ .

Να αποδείξετε, ότι η σχέση $\sim$ αποτελεί σχέση ισοδυναμίας.

Ορισμός 3. Το σύνολο των κλάσεων ισοδυναμίας ως προς την σχέση ισοδυναμίας, που περιγράφηκε στο προηγούμενο πρόβλημα, ονομάζεται σύνολο των ρητών αριθμών. Συμβολίζεται με: $\mathbb{Q}$ .

Η κλάση ισοδυναμίας του στοιχείου (a,b)

συνηθίζεται να συμβολίζεται με $\dfrac{a}{b}$ . Στη θέση του $\dfrac{a}{1}$ πιο σύντομα γράφουμε

.

Πρόβλημα 11. Εισάγετε στο $\mathbb{Q}$ τις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού έτσι, ώστε το $\mathbb{Q}$ να αποτελεί πεδίο.

...

Πηγή: "Στοιχεία μαθηματικών σε προβλήματα", λίστα 14, σελ.7.

Το σύνολο Q

Re: Το σύνολο Q

Re: Το σύνολο Q

Re: Το σύνολο Q

Re: Το σύνολο Q

Re: Το σύνολο Q

Re: Το σύνολο Q

Re: Το σύνολο Q

Re: Το σύνολο Q

Re: Το σύνολο Q

Μέλη σε σύνδεση