Καλή πρόοδο !

KARKAR · #1

Βρείτε όλα τα ζεύγη των διαφορετικών μεταξύ τους θετικών ακεραίων , με την εξής ιδιότητα :

Η διαφορά τους , το άθροισμά τους και το γινόμενό τους , να είναι ( μ' αυτήν την σειρά ) ,

διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου .

Manolis Petrakis · #2

Καλημέρα!
Έστω a,b

οι θετικοί ακέραιοι τότε:
a-b,a+b,ab

αριθμητική πρόοδος
Έτσι $ab+a-b=2(a+b)\Leftrightarrow b(a-3)=a$
Αν a=3

αδύνατη
Αν $a\neq 3:$
$b=\dfrac{a}{a-3}=1+\dfrac{3}{a-3}$ με $a-3/3\Leftrightarrow a-3=1$ ή $a-3=3\Leftrightarrow a=4$ ή a=6

$\Leftrightarrow (a,b)=(4,4),(6,2)$ αποκλείουμε την 1η διότι $a\neq b$
*Δηλαδή οι αριθμητική πρόοδος 4,8,12

Philip.kal · #3

Καλημέρα! Λίγο διαφορετικά η αρχή.

Έστω οι θετικοί ακέραιοι a,b

, Τέτοιοι ώστε οι a-b,a+b,ab

να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Τότε, θα υπάρχει θετικός ακέραιος

, τέτοιος ώστε: a-b+k=a+b

και

. Από την πρώτη, έχουμε ότι: $a-b+k=a+b\Leftrightarrow k=2b (1)$

Τώρα, στη δεύτερη σχέση, είναι: $a+b+k=ab\xrightarrow[]{(1)}a+b+2b=ab\Leftrightarrow a=ab-3b$

Και τα λοιπά, όπως τα έγραψε παραπάνω ο Μανώλης.

Καλή πρόοδο !

Καλή πρόοδο !

Re: Καλή πρόοδο !

Re: Καλή πρόοδο !

Μέλη σε σύνδεση