Απλοποίηση

#1

Να απλοποιήσετε την παράσταση $\displaystyle A = \frac{{\sqrt {3 - 2\sqrt 2 } + \sqrt {3 + 2\sqrt 2 } }}{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } - \sqrt {2 - \sqrt 3 } }}$

24 ώρες για μαθητές.

Filippos Athos · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 23, 2020 6:49 pm
Να απλοποιήσετε την παράσταση $\displaystyle A = \frac{{\sqrt {3 - 2\sqrt 2 } + \sqrt {3 + 2\sqrt 2 } }}{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } - \sqrt {2 - \sqrt 3 } }}$

24 ώρες για μαθητές.

'Εχουμε $A^{2}=(\frac{\sqrt{3-2\sqrt{2}}+\sqrt{3+2\sqrt{2}}}{\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}}})^{2}$
Κάνοντας τις πράξεις φτάνουμε στο: $A^{2}=\frac{3-2\sqrt{2}+2\sqrt{(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})}+3+2\sqrt{2}}{2+\sqrt{3}-2\sqrt{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}+2-\sqrt{3}}$
Χρησιμοποιώντας την γνωστή ταυτότητα $(a-b)(a+b)=a^{2}+b^{2}$

Έχουμε $A^{2}=\frac{6+2\sqrt{3^{2}-(2\sqrt{2})^{2}}}{4-2\sqrt{2^{2}-\sqrt{3}^{2}}}=\frac{6+2}{4-2}=4\Rightarrow A=2$ (Αφού

θετικός)

#3

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 23, 2020 6:49 pm
Να απλοποιήσετε την παράσταση $\displaystyle A = \frac{{\sqrt {3 - 2\sqrt 2 } + \sqrt {3 + 2\sqrt 2 } }}{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } - \sqrt {2 - \sqrt 3 } }}$

Για όφελος των μαθητών μας, ας το δούμε και αλλιώς. To κάνω κάπως σχολαστικά. Σε όλες τις περιπτώσεις γίνεται χρήση του $a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$ . Εδώ

$\displaystyle{\sqrt {3 - 2\sqrt 2 } = \sqrt {2 - 2\sqrt 2 +1 } = \sqrt {(\sqrt 2 -1)^ 2 } = \sqrt 2 -1}$ . Όμοια $\displaystyle{\sqrt {3 + 2\sqrt 2 } = \sqrt 2 +1}$ ,

οπότε ο αριθμητής ισούται με $\displaystyle{A= (\sqrt 2 -1) + (\sqrt 2+1) = 2\sqrt 2}$ .

Για τον παρονομαστή βολεύει να πολλαπλασιάσουμε (και αργότερα να διαιρέσουμε) με $\sqrt 2$ . Έτσι

$\displaystyle{ \sqrt 2 \sqrt {2 + \sqrt 3 } = \sqrt {4 + 2\sqrt 3 }= \sqrt {3+ 2\sqrt 3 +1 }= \sqrt {(\sqrt 3+ 1)^2 }= \sqrt 3+ 1}$ . Όμοια $\displaystyle{ \sqrt 2 \sqrt {2 - \sqrt 3 } = \sqrt 3- 1}$ , οπότε η διαφορά τους είναι B=2

.

Τελικά το κλάσμα ισούται με $\displaystyle{\dfrac {A}{B:\sqrt 2}= \dfrac {2\sqrt 2}{2:\sqrt 2}= \dfrac {2\sqrt 2}{\sqrt 2}=2}$

Filippos Athos · #4

Filippos Athos έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 23, 2020 11:33 pm

Κάνοντας τις πράξεις φτάνουμε στο: $A^{2}=\frac{3-2\sqrt{2}+2\sqrt{(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})}+3+2\sqrt{2}}{2+\sqrt{3}-2\sqrt{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}+2-\sqrt{3}}$

Για να μην βγάλετε τα μάτια σας μέχρι να καταλάβετε τι γράφει εδώ πάνω

(ακόμη και εγώ παιδεύομαι όταν το ξαναβλέπω),έχω άλλη μία λύση πάλι με την ταυτότητα $(a-b)(a+b)=a^{2}+b^{2}$ και $a^{2}\pm 2ab+b^{2}=(a\pm b)^{2}$

Ας θέσουμε $a=\sqrt{3-2\sqrt{2}},b=\sqrt{3+2\sqrt{2}},c=\sqrt{2+\sqrt{3}},d=\sqrt{2-\sqrt{3}}$

Έχουμε $a^{2}+b^{2}=6,ab=1$ αφού όπως έγραψα στην προηγούμενη λύση μου $\sqrt{(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})}=\sqrt{3^{2}-(2\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{1}=1$

Όμοια $c^{2}+d^{2}=4,cd=1$

Άρα $8=a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}\Rightarrow a+b=\sqrt{8}$
και $2=c^{2}-2cd+d^{2}=(c-d)^{2}\Rightarrow c-d=\sqrt{2}$

Οπότε $A=\frac{a+b}{c-d}=\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{8}{2}}=\sqrt{4}=2$

#5

Filippos Athos έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 23, 2020 11:33 pm

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 23, 2020 6:49 pm
Να απλοποιήσετε την παράσταση $\displaystyle A = \frac{{\sqrt {3 - 2\sqrt 2 } + \sqrt {3 + 2\sqrt 2 } }}{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } - \sqrt {2 - \sqrt 3 } }}$

24 ώρες για μαθητές.
'Εχουμε $A^{2}=(\frac{\sqrt{3-2\sqrt{2}}+\sqrt{3+2\sqrt{2}}}{\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}}})^{2}$
Κάνοντας τις πράξεις φτάνουμε στο: $A^{2}=\frac{3-2\sqrt{2}+2\sqrt[4]{(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})}+3+2\sqrt{2}}{2+\sqrt{3}-2\sqrt[4]{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}+2-\sqrt{3}}$
Χρησιμοποιώντας την γνωστή ταυτότητα $(a-b)(a+b)=a^{2}+b^{2}$

Έχουμε $A^{2}=\frac{6+2\sqrt[4]{3^{2}-(2\sqrt{2})^{2}}}{4-2\sqrt[4]{2^{2}-\sqrt{3}^{2}}}=\frac{6+2}{4-2}=4\Rightarrow A=2$ (Αφού θετικός)

Και εδώ αλλά και στο (#4), όπου έχεις γράψει τέταρτη ρίζα είναι τετραγωνική. Το τελικό αποτέλεσμα συμπτωματικά δεν αλλοιώνεται γιατί $\displaystyle \sqrt[4]{1} = \sqrt 1 = 1.$

Filippos Athos · #6

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 24, 2020 10:10 am

Filippos Athos έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 23, 2020 11:33 pm

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 23, 2020 6:49 pm
Να απλοποιήσετε την παράσταση $\displaystyle A = \frac{{\sqrt {3 - 2\sqrt 2 } + \sqrt {3 + 2\sqrt 2 } }}{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } - \sqrt {2 - \sqrt 3 } }}$

24 ώρες για μαθητές.
'Εχουμε $A^{2}=(\frac{\sqrt{3-2\sqrt{2}}+\sqrt{3+2\sqrt{2}}}{\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}}})^{2}$
Κάνοντας τις πράξεις φτάνουμε στο: $A^{2}=\frac{3-2\sqrt{2}+2\sqrt[4]{(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})}+3+2\sqrt{2}}{2+\sqrt{3}-2\sqrt[4]{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}+2-\sqrt{3}}$
Χρησιμοποιώντας την γνωστή ταυτότητα $(a-b)(a+b)=a^{2}+b^{2}$

Έχουμε $A^{2}=\frac{6+2\sqrt[4]{3^{2}-(2\sqrt{2})^{2}}}{4-2\sqrt[4]{2^{2}-\sqrt{3}^{2}}}=\frac{6+2}{4-2}=4\Rightarrow A=2$ (Αφού θετικός)
Και εδώ αλλά και στο (#4), όπου έχεις γράψει τέταρτη ρίζα είναι τετραγωνική. Το τελικό αποτέλεσμα συμπτωματικά δεν αλλοιώνεται γιατί $\displaystyle \sqrt[4]{1} = \sqrt 1 = 1.$

Έχετε απόλυτο δίκιο

,το διώρθωσα

kkala · #7

Οι προτεινόμενες λύσεις γεννούν την υποψία ότι η μετατροπή διπλών ριζικών σε απλά δεν περιλαμβάνονται στη σχολική διδακτέα ύλη σήμερα, σε αντίθεση με τη δεκαετία του 1960 ή ενωρίτερα. Το #3 (Michalis_Lambrou) υποδεικνύει μια πρόσφορη παιδαγωγικά μέθοδο απλοποίησης των ριζικών αυτών βασισμένη στο τετράγωνο του δυωνύμου, την οποία αναφέρει και ο Ν. Δ. Νικολάου στην Άλγεβρά του (εκδοση Α, 1932, και πιθανότατα στις επόμενες).
Άλλα παλιά βιβλία Άλγεβρας (Γ. Παπανικολάου, σχολικό Ν. Σακελλαρίου) αποδεικνύουν ένα κάπως διαφορετικό (φαινομενικά) κανόνα, που λέει ότι ικανή και αναγκαία συνθήκη μετατροπής του $\sqrt{A+\sqrt{B}}$ σε απλά ριζικά είναι η διαφορά $A^{2}-B=G^{2}$ να είναι τέλειο τετράγωνο, δηλαδή της μορφής $G^{2}$ ,
και τότε $\sqrt{A+\sqrt{B}}$ $=\sqrt{(A+G)/2}+\sqrt{(A-G)/2}$
όπου Α, Β, G ρητοί (πραγματικοί) αριθμοί, όλοι θετικοί.

Εφαρμόζοντας λοιπόν τον κανόνα αυτό, έχουμε τα παρακάτω:
1. $\sqrt{3-2\sqrt{2}}=\sqrt{(3+1)/2}-\sqrt{(3-1)/2}=\sqrt{2}-1$ , όπου G=1.
ομοίως $\sqrt{3+2\sqrt{2}}=\sqrt{2}+1$ , οπότε $\sqrt{3-2\sqrt{2}}+\sqrt{3+2\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$
2. επίσης $\sqrt{2+\sqrt{3}}=\sqrt{(2+1)/2}+\sqrt{(2-1)/2}=0.5(\sqrt{6}+\sqrt{2})$ , όπου G=1
και $\sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{(2+1)/2}-\sqrt{(2-1)/2}=0.5(\sqrt{6}-\sqrt{2})$
οπότε $\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{2}$

Από τα (1) και (2) προκύπτει με διαίρεση η τιμή 2 για την παράσταση προς απλοποίηση.

To κριτήριο $A^{2}-B = G^{2}$ βοηθάει να αντιληφθεί κάποιος άμεσα αν χωράει απλοποίηση του διπλού ριζικού.

Διόρθωση ~19:30 : Διαγράφτηκε ο Τόγκας από αυτούς που ακολουθούν τη μεθοδολογία $A^{2}-B=G^{2}$ , εφαρμόζει τη μέθοδο τετραγώνου του δυωνύμου σε ένα σημείο της άλγεβρας του.

#8

kkala έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 25, 2020 6:23 pm
Οι προτεινόμενες λύσεις γεννούν την υποψία ότι η μετατροπή διπλών ριζικών σε απλά δεν περιλαμβάνονται στη σχολική διδακτέα ύλη σήμερα, σε αντίθεση με τη δεκαετία του 1960 ή ενωρίτερα. Το #3 (Michalis_Lambrou) υποδεικνύει μια πρόσφορη παιδαγωγικά μέθοδο απλοποίησης των ριζικών αυτών βασισμένη στο τετράγωνο του δυωνύμου, την οποία αναφέρει και ο Ν. Δ. Νικολάου στην Άλγεβρά του (εκδοση Α, 1932, και πιθανότατα στις επόμενες).
Άλλα παλιά βιβλία Άλγεβρας (Γ. Παπανικολάου, σχολικό Ν. Σακελλαρίου, Τόγκας) αποδεικνύουν ένα κάπως διαφορετικό (φαινομενικά) κανόνα, που λέει ότι ικανή και αναγκαία συνθήκη μετατροπής του $\sqrt{A+\sqrt{B}}$ σε απλά ριζικά είναι η διαφορά $A^{2}-B=G^{2}$ να είναι τέλειο τετράγωνο, δηλαδή της μορφής $G^{2}$ ,
και τότε $\sqrt{A+\sqrt{B}}$ $=\sqrt{(A+G)/2}+\sqrt{(A-G)/2}$
όπου Α, Β, G ρητοί (πραγματικοί) αριθμοί, όλοι θετικοί.

Εφαρμόζοντας λοιπόν τον κανόνα αυτό, έχουμε τα παρακάτω:
1. $\sqrt{3-2\sqrt{2}}=\sqrt{(3+1)/2}-\sqrt{(3-1)/2}=\sqrt{2}-1$ , όπου G=1.
ομοίως $\sqrt{3+2\sqrt{2}}=\sqrt{2}+1$ , οπότε $\sqrt{3-2\sqrt{2}}+\sqrt{3+2\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$
2. επίσης $\sqrt{2+\sqrt{3}}=\sqrt{(2+1)/2}+\sqrt{(2-1)/2}=0.5(\sqrt{6}+\sqrt{2})$ , όπου G=1
και $\sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{(2+1)/2}-\sqrt{(2-1)/2}=0.5(\sqrt{6}-\sqrt{2})$
οπότε $\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{2}$

Από τα (1) και (2) προκύπτει με διαίρεση η τιμή 2 για την παράσταση προς απλοποίηση.
To κριτήριο $A^{2}-B =G^{2}$ βοηθάει να αντιληφθεί κάποιος αν χωράει απλοποίηση του διπλού ριζικού. Χρήσιμο σε πολλαπλ'α διπλά ριζικά, διτετράγωνες εξισώσεις, κλπ.

Πράγματι δεν διδάσκεται (εδώ και πολλά χρόνια) αυτή η τεχνική. Εγώ το διδάχτηκα από το βιβλίο του Ηλία Ντζιώρα.

Ας αποστηθίσουν τουλάχιστον οι μαθητές τη συνθήκη A^2-B=G^2

ώστε να γνωρίζουν αν μπορεί να απλοποιηθεί

το διπλό ριζικό. Έχει συζητηθεί ξανά αυτή η τεχνική εδώ και στις παραπομπές.

kkala · #9

Το κριτήριο A^2-B=G^2

(1) διαπιστώνει αν το ριζικό απλοποιείται, αλλά πιθανότατα ο μαθητής θα χάσει κάτι στη βαθμολογία αν εφαρμόσει απευθείας το αποτέλεσμα $\sqrt{(A+G)/2}+\sqrt{(A-G)/2}$ , διότι δεν περιέχεται στη διδακτέα ύλη. Μια διέξοδος είναι να χρησιμοποιήσει το γνωστό ανάπτυγμα του δυωνύμου. Βλέπε παράδειγμα στο #3 (Mihalis_Lambrou). Αν η μετατροπή του υπορρίζου σε τέλειο τετράγωνο έχει δυσκολία (εφόσον βέβαια ισχύει η (1)), μπορούμε να προχωρήσουμε κατά τα παρακάτω.

$\sqrt{A+\sqrt{B}}=\sqrt{A+\sqrt{A^2-G^2}}=\sqrt{(A+G)/2+(A-G)/2+2\sqrt{(A+G)/2 \cdot (A-G)/2}}=$

$=\sqrt{(\sqrt{(A+G)/2})+\sqrt{(A-G)/2})})^2=\sqrt{(A+G)/2)}+\sqrt{(A-G)/2}$

Δηλαδή προσθαφαιρούμε στην παράσταση του υπόρριζου το G/2 (ευκολοαπομνημόνευτο), με σκοπό να το κάνουμε τέλειο τετράγωνο.

Απλοποίηση

Απλοποίηση

Re: Απλοποίηση

Re: Απλοποίηση

Re: Απλοποίηση

Re: Απλοποίηση

Re: Απλοποίηση

Re: Απλοποίηση

Re: Απλοποίηση

Re: Απλοποίηση

Μέλη σε σύνδεση