Απλοποίηση και εξίσωση

KARKAR · #1

$\bigstar$ Δίνεται η συνάρτηση : f(x)=x^3

και έστω

, ένας θετικός αριθμός .

Ι ) Απλοποιήστε τις παραστάσεις : $A=\dfrac{f(x+h)+f(x-h)}{2h} , B=\dfrac{f(x+h)-f(x-h)}{2xh}$

ΙΙ ) Λύστε την εξίσωση : A=B

, αν :

και την συνέχεια , αν : h=2

.

geoberdenis2004 · #2

Καλησπέρα!Ωραία άσκηση αν και πιστεύω λίγο δύσκολη για Α' Λυκείου.Μια προσπάθεια χωρίς να είμαι απόλυτα σίγουρος.
Για την Α: $A=\frac{f(x+h)+f(x-h)}{2h}=\frac{(x+h)^{3}+(x-h)^{3}}{2h}=\frac{x^{3}+3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}+x^{3}-3x^{2}h+3xh^{2}-h^{3}} {2h}=\frac{2(x^{3}+3xh^{2})}{2h}=\frac{x^{3}+3x^{2}h} {h}$
Για την Β: $B=\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2hx}=\frac{(x+h)^{3}-(x-h)^{3}}{2hx}=...=\frac{2h^{3}+6x^{2}h}{2hx}=\frac{2h(h^{2}+3x^{2})}{2xh}=\frac{h^{2}+3x^{2}} {x}$
Για h=1 και Α=Β: $\frac{x^{3}+3xh^{2}} {h}=\frac{h^{2}+3x^{2}}{x}\Rightarrow x(x^{3}+3x)=3x^{2}+1\Rightarrow x^{4}+3x^{2}=3x^{2}+1\Rightarrow x^{4}=1\Rightarrow x=\pm 1$
Για h=2 και Α=Β: $\frac{x^{3}+3xh^{2}} {h}=\frac{h^{2}+3x^{2}}{x}\Rightarrow \frac{x^{3}+12x} {2}=\frac{3x^{2}+4}{x}\Rightarrow x(x^{3}+12x)=6x^{2}+8 \Rightarrow x^{4}+12x^{2}=6x^{2}+8 \Rightarrow x^{4}+6x^{2}-8=0$
Θέτω $x^{2}=y$ :
$y^{2}+6y-8=0$
$\Delta = 36+32=68> 0\Rightarrow y_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{68} }{2}\Rightarrow x^{2}=\frac{-6\pm \sqrt{68} }{2}$ , άτοπο.Άρα στην δεύτερη περίπτωση δεν έχουμε ρητές λύσεις.

Απλοποίηση και εξίσωση

Απλοποίηση και εξίσωση

Re: Απλοποίηση και εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση