Ίσα και άνισα που... δίνουν Ίσα !

maiksoul · #1

Να βρεθούν οι $a,b \in R$ οι οποίοι έχουν τις ακόλουθες δύο ιδιότητες :

$\bigstar \left | a+1 \right |+\left | 2a-b+4 \right |=a-b+3$

$\bigstar a^{2}\cdot b+3a^{3}+6b+18a+5=b^{2}+3ab$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Λάμπρος Κατσάπας · #2

Καταρχάς πρέπει $a-b+3\geq 0 (1)$ . Επίσης, η δεύτερη δοσμένη σχέση γράφεται: $(-b-3a)(a^{2}-b+6)=5.$

Από την $|A|+|B|\geq |A-B|\geq A-B$ και την πρώτη δοσμένη σχέση παίρνουμε:

$|a+1|+|2a-b+4|=|(a+1)-(2a-b+4)| \Rightarrow (a+1)(2a-b+4)\leq 0\Rightarrow (a\geq -1$ και $b\geq 2a+4)(2)$ ή $(a\leq -1$ και $b\leq 2a+4)(3)$ .

Συνδυάζοντας τις (1),(2)

(εγώ το έκανα γραφικά) βρίσκουμε τελικά ότι a=-1,b=2

τα οποία επαληθεύουν τη δεύτερη δοσμένη σχέση.

Συνδυάζοντας τις (1),(3)

έχουμε: $(a\leq -1$ και $b\leq 2a+4)(3)$ .

Όμως για $a\leq -1$ έχουμε $b\leq 2a+4 \leq 2 \Rightarrow -b\geq -2 (4)$ .

Για $a\leq -1$ και $b \leq 2$ παίρνουμε $-3a-b\geq 1 (5)$ με την ισότητα να ισχύει μόνο αν a=-1,b=2

.

Επιπλέον, $a\leq -1\Rightarrow -a\geq 1\Rightarrow a^{2}\geq 1$ και προσθέτοντας κατά μέλη με την (4)

παίρνουμε $a^{2}-b\geq -1\Rightarrow a^{2}-b+6\geq 5 (6)$ με την ισότητα να ισχύει μόνο αν a=-1,b=2

.

Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τις (5),(6)

παίρνουμε $(-b-3a)(a^{2}-b+6)\geq 5$ .

Επομένως από την τελευταία σχέση και τη δεύτερη δοσμένη βλέπουμε ότι οι ζητούμενοι αριθμοί είναι οι a=-1,b=2

.

Ίσα και άνισα που... δίνουν Ίσα !

Ίσα και άνισα που... δίνουν Ίσα !

Re: Ίσα και άνισα που... δίνουν Ίσα !

Μέλη σε σύνδεση