Θεωρια αριθμων (Poland 1999)

Datis-Kalali · #1

Αν

ειναι ακέραιοι αριθμοί, έτσι ώστε $mn \vert m^2+n^2+m$ ,
Να αποδείξετε ότι

είναι τέλειο τετράγωνο.

dement · #2

Έστω πρώτος

με

(δηλαδή $p^{2k+1} \mid m, p^{2k+2} \nmid m$ ).

Ισχύει v_p(m^2) = 4k + 2

. Επίσης, αφού $m \mid n^2$ , ισχύει $v_p (n) \geqslant k+1 \implies v_p(n^2) \geqslant 2k + 2$ .

Έτσι, v_p (m^2 + n^2 + m) = 2k + 1 = v_p (m)

, οπότε

(για να ισχύει η διαιρετότητα) που είναι άτοπο.

Οπότε ο v_p(m)

είναι πάντα άρτιος και ο

είναι τέλειο τετράγωνο.

2nisic · #3

Έστω

και

τότε:

$d^{2}xy|d^{2}(x^{2}+y^{2})+m\Leftrightarrow d^{2}|m$

$mn|m^{2}+n^{2}+m\Rightarrow m|n^{2}\Leftrightarrow m|d^{2}y^{2},(m,y)=1\Leftrightarrow m|d^2$

Άρα m=d^2

Θεωρια αριθμων (Poland 1999)

Θεωρια αριθμων (Poland 1999)

Re: Θεωρια αριθμων (Poland 1999)

Re: Θεωρια αριθμων (Poland 1999)

Μέλη σε σύνδεση