Σημείο S Πρόβλημα ΙΙ

∫ot.T. · #1

Έστω τρίγωνο ABC

εγγεγραμμένο στον κύκλο (O)

και περιγεγρμμένο στον (I)

,

το μέσο της

και

το μέσο του τόξου

που δεν περιέχει το

. Έστω

το σημείο τομής του κύκλου (NMI)

με την

,

το σημείο τομής της

με την

και

το σημείο επαφής του (I)

με την

. Έστω

σημείο της

τέτοιο ώστε η

να εφάπτεπται στον κύκλο (O)

και έστω

το σημείο τομής της

με την

. Να αποδειχθεί ότι οι κύκλοι (O)

,

έχουν κοινό ριζικό άξονα.

Dimessi · #2

: Σωτο πρόβλημα ΙΙ.png (71.48 KiB) Προβλήθηκε 431 φορές

$\bullet$ Έστω $V\equiv \left ( ADG \right )\cap \left ( O \right ),V\neq A,Y''\equiv AV\cap BC,U\equiv NM\cap \left ( O \right ),U\neq N.$ $\displaystyle \angle AVD \overset{ADVG\epsilon \gamma \gamma \varrho \alpha \psi \iota \mu o}=\angle AGD=\angle B-\angle GAB \overset{\chi o\varrho \delta \eta \varsigma -\epsilon \phi \alpha \pi \tau o\mu \epsilon \nu \eta \varsigma }=\angle B-\angle C$ $\overset{\angle AVC \overset{ABVC\epsilon \gamma \gamma \varrho \alpha \psi \iota \mu o}=\angle B}\Rightarrow \angle DVC=\angle C.$
$\bullet$
$\displaystyle \frac{\sin \angle BUV}{\sin \angle CUV}\overset{BUCV\epsilon \gamma \gamma \varrho \alpha \psi \iota \mu o}=\frac{BV}{VC}=\frac{BD}{DC}\cdot \frac{\sin \angle DVC}{\sin \angle DVB}=\frac{a+c-b}{a+b-c}\cdot \frac{\sin\angle C}{\sin \angle B}=\frac{c\left ( a+c-b \right )}{b\left ( a+b-c \right )}\left ( \ast \right ).$
$\bullet$
$\displaystyle \frac{\sin \angle BUI}{\sin \angle CUI}\cdot \frac{\sin \angle CBI}{\sin \angle UBI}\cdot \frac{\sin \angle UCI}{\sin \angle BCI}\overset{\textrm{Trig Ceva}}=1\Rightarrow \frac{\sin \angle BUI}{\sin \angle CUI}=\frac{\sin \frac{\angle C}{2}\cdot \sin \frac{\angle C}{2}}{\sin \frac{\angle B}{2}\cdot \sin \frac{\angle B}{2}}=\frac{1-\cos \angle C}{1-\cos \angle B}=$
$\displaystyle =\frac{1-\frac{a^{2}+b^2-c^2}{2ab}}{1-\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}}=\frac{c\left ( c-a+b \right )\left ( c+a-b \right )}{b\left ( b-a+c \right )\left ( b+a-c \right )}\overset{\left ( \ast \right )}=\frac{\sin \angle BUV}{\sin \angle CUV},$
άρα τα σημεία U,I,V

είναι συνευθειακά

άρα $\angle AVI\equiv \angle AVU\overset{AVNU\epsilon \gamma \gamma \varrho \alpha \psi \iota \mu o}=\angle ANU=90^\circ-\angle AUN \overset{\chi o\varrho \delta \eta \varsigma -\epsilon \phi \alpha \pi \tau o\mu \epsilon \nu \eta \varsigma }=90^\circ-\angle FAN=$
$=90^\circ-\angle FAI=\angle SMN-\angle FAI\overset{SIMN\epsilon \gamma \gamma \varrho \alpha \psi \iota \mu o}=\angle SIN-\angle FAI=\angle AFI,$
άρα το τετράπλευρο AFVI

είναι εγγράψιμο. $\blacksquare$

: Σωτο πρόβλημα ΙΙ.png (71.48 KiB) Προβλήθηκε 431 φορές

$\bullet$
$\displaystyle \frac{BY''}{Y''C}\overset{ABVC\epsilon \gamma \gamma \varrho \alpha \psi \iota \mu o}=\frac{AB}{AC}\cdot \frac{BV}{VC}\overset{\left ( \ast \right )}=\frac{c}{b}\cdot \frac{c\left ( a+c-b \right )}{b\left ( a+b-c \right )}\Rightarrow \frac{Y''C}{a}=\frac{b^{2}\left ( a+b-c \right )}{b^{2}\left ( a+b-c \right )+c^{2}\left ( a+c-b \right )}\left ( \ast \ast \right ).$
$\bullet$ Από εδώ viewtopic.php?f=185&t=78161

$\displaystyle SC=\frac{ab\left ( b-c+a \right )}{\left ( b-c \right )\left ( a+b+c \right )}.$
$\displaystyle \left.\begin{matrix} \displaystyle SY''\cdot Y''R=\left ( \frac{ab\left ( b-c+a \right )}{\left ( b-c \right )\left ( a+b+c \right )}-Y'' C\right )\left ( Y''C-\frac{ab}{b+c} \right ) & \\ AY''\cdot Y''V\overset{ABVC \epsilon \gamma \gamma \varrho \alpha \psi \iota \mu o}=BY''\cdot Y''C=a\cdot Y''C-Y''C^{2} & \\ \end{matrix}\right\}\overset{\left ( \ast \ast \right )}\Rightarrow SY''\cdot Y''R=AY''\cdot Y''V,$
άρα το τετράπλευρο ARVS

είναι εγγράψιμο. $\blacksquare$
$\bullet$ Άρα, οι κύκλοι (O),(ARS),(ADG),(AIF)

έχουν κοινό ριζικό άξονα την ευθεία AV,

που ολοκληρώνει την απόδειξη. $\blacksquare$

: Σωτο πρόβλημα ΙΙ.png (71.48 KiB) Προβλήθηκε 431 φορές

Σημείο S Πρόβλημα ΙΙ

Σημείο S Πρόβλημα ΙΙ

Re: Σημείο S Πρόβλημα ΙΙ

Μέλη σε σύνδεση