Συντρέχουσες ευθείες

#1

Έστω $\triangle ABC$ ένα τρίγωνο με $AB\ne BC$ και έστω $\omega$ o περιγεγραμμένος κύκλος του. Έστω

σημείο του $\omega$ ώστε η ευθεία

να διχοτομεί την πλευρά

, έστω

το ορθόκεντρο του $\triangle ABC$ και

σημείο του $\omega$ ώστε $B\widehat{D}H=90^\circ$ . Έστω σημείο

τέτοιο ώστε το τετράπλευρο ANCK

να είναι παραλληλόγραμμο. Να δειχθεί ότι οι ευθείες

,

, και

συντρέχουν.

Πηγή: IMO-EGMO TST

Φιλικά,

Αχιλλέας

Ορέστης Λιγνός · #2

achilleas έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 12, 2022 8:30 pm
Έστω $\triangle ABC$ ένα τρίγωνο με $AB\ne BC$ και έστω $\omega$ o περιγεγραμμένος κύκλος του. Έστω σημείο του $\omega$ ώστε η ευθεία να διχοτομεί την πλευρά , έστω το ορθόκεντρο του $\triangle ABC$ και σημείο του $\omega$ ώστε $B\widehat{D}H=90^\circ$ . Έστω σημείο τέτοιο ώστε το τετράπλευρο να είναι παραλληλόγραμμο. Να δειχθεί ότι οι ευθείες , , και συντρέχουν.

Πηγή: IMO-EGMO TST

Φιλικά,

Αχιλλέας

Έστω

το μέσον της

. Ο βασικός Ισχυρισμός είναι ο εξής:

Ισχυρισμός: $K \in BM$ και $HK \perp BM$ .
Απόδειξη: Κλέβουμε λίγο

και ορίζουμε ξανά το

ώστε $K \in BM$ και $HK \perp BM$ . Τότε, αν η

τέμνει την

στο

, η

την

στο

και

το ίχνος της καθέτου από το

στην

, είναι

$\displaystyle{MK \cdot MB=MB^2-BK \cdot BM=MB^2-BH \cdot BL=MB^2-BT \cdot BA=}$

$\displaystyle{MB^2-(BS-ST)(BS+SA)=MB^2-(BS-SA)(BS+SA)=MB^2-(BS^2-SA^2)=}$

$\displaystyle{MB^2-(MB^2-MA^2)=MA^2,}$

και άρα ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου ABK

εφάπτεται στην

, συνεπώς

$\displaystyle{\angle KAM=\angle ABM=\angle ACN,}$

που δίνει ότι $KA \parallel CN$ , και όμοια $KC \parallel AN$ , και άρα το τετράπλευρο AKCN

είναι παραλληλόγραμμο, όπως θέλαμε $\blacksquare$

Στο πρόβλημα, είναι

$\displaystyle{\angle HKB=\angle HDB=90^\circ,}$

και άρα το τετράπλευρο DHKB

είναι εγγράψιμο. Επίσης,

$\displaystyle{\angle AKC=\angle ANC=180^\circ-\angle B=\angle AHC,}$

και άρα και το τετράπλευρο AHKC

είναι εγγράψιμο.

Συνεπώς, οι ευθείες BD,KH

και

συντρέχουν στο ριζικό κέντρο των κύκλων (A,D,B,C)

,

και

, οπότε η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Συντρέχουσες ευθείες

Συντρέχουσες ευθείες

Re: Συντρέχουσες ευθείες

Μέλη σε σύνδεση