Διχοτόμηση με συνθήκη

harrisp · #1

Δίνεται τρίγωνο ABC

με

. Έστω

τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου με τις πλευρες BC,CA,AB

αντίστοιχα. Να δειχτεί ότι η διάμεσος

του τριγώνου διχοτομείται απο το ευθύγραμμο τμήμα B_1,C_1

.

Ίσχύει το αντίστροφο;

#2

Έστω π. χ. c < b

Ας είναι $T\,\,,K$ τα σημεία τομής της ${B_1}{C_1}$ με τη

και

.

Έστω δε 2s = a + b + c = 3a

θα είναι :

$\boxed{A{C_1} = A{B_1} = s - a = \dfrac{a}{2}\,\,,B{C_1} = B{A_1} = s - b = \dfrac{{3a}}{2} - b\,\,,C{A_1} = C{B_1} = s - c}$

Επειδή τα σημεία ${A_1}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,T$ αρμονικά συζυγή των $B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C$ θα είναι :

$\dfrac{{{A_1}B}}{{{A_1}C}} = \dfrac{{TB}}{{TC}} \Rightarrow \dfrac{{TB}}{{TC}} = \dfrac{{s - b}}{{s - c}} \Rightarrow \dfrac{{TB}}{{TC - TB}} = \dfrac{{s - b}}{{b - c}}$ και άρα $TB = \dfrac{{a(s - b)}}{{b - c}}$ συνεπώς

: Διχοτόμηση με συνθήκη.png (25.46 KiB) Προβλήθηκε 1760 φορές

$\dfrac{{TB}}{{TM}} = \dfrac{{TB}}{{TB + BM}} = \dfrac{{a\dfrac{{s - b}}{{b - c}}}}{{a\dfrac{{s - b}}{{b - c}} + \dfrac{a}{2}}} \Rightarrow \boxed{\dfrac{{TB}}{{TM}} = \dfrac{{s - b}}{{s - a}}}\,\,(1)$

Από το Θ. Μενελάου στο $\vartriangle ABM$ με τέμνουσα $\overline {T{C_1}K}$ έχω

$\dfrac{{A{C_1}}}{{{C_1}B}} \cdot \dfrac{{TB}}{{TM}} \cdot \dfrac{{MK}}{{KA}} = 1 \Rightarrow \dfrac{{s - a}}{{s - b}} \cdot \dfrac{{s - b}}{{s - a}} \cdot \dfrac{{MK}}{{KA}} = 1$ . Άρα MK = KA

.

Τώρα βλέπω ότι ζητείται αν ισχύει το αντίστροφο . Δεν το εξέτασα αλλά εικάζω όχι.

Θα το δω .

harrisp · #3

Ευχαριστώ πολύ για την λύση κύριε Νίκο !

#4

Είναι και εδώ

#5

Επειδή $\boxed{\frac{{TB}}{{TM}} = \frac{{TB}}{{TB + BM}} = \frac{{a\frac{{s - b}}{{b - c}}}}{{a\frac{{s - b}}{{b - c}} + \frac{a}{2}}} = \frac{{2(s - b)}}{{2s - (b + c)}}}$ αν MK = KA

αναγκαστικά

$\boxed{\frac{{TB}}{{TM}} = \frac{{s - b}}{{s - a}} = \frac{{2s - 2b}}{{2s - 2a}}}$ και άρα 2a = b + c

Άρα τελικά ισχύει και το αντίστροφο.

Χάρη θα μπορούσα να έχω τη λύση που προβλέπει η πηγή ;

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Δίνεται τρίγωνο με . Έστω τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου με τις πλευρες αντίστοιχα. Να δειχτεί ότι η διάμεσος του τριγώνου διχοτομείται απο το ευθύγραμμο τμήμα .

Ίσχύει το αντίστροφο;

Στο παρακάτω σχήμα είναι $\displaystyle{BD = m,CE = n,AZ = p}$

Με $\displaystyle{BD,CE,AZ \bot {B_1}{C_1} \Rightarrow BD,CE//AZ \Rightarrow \frac{m}{p} = \frac{{\tau - b}}{{\tau - \alpha }} \Rightarrow m = \frac{{\tau - b}}{{\tau - \alpha }} \cdot p}$ και $\displaystyle{\frac{n}{p} = \frac{{\tau - c}}{{\tau - \alpha }} \Rightarrow n = \frac{{\tau - c}}{{\tau - \alpha }} \cdot p}$

Στο τραπέζιο $\displaystyle{DECB}$ η $\displaystyle{MN}$ είναι διάμεσος κι επομένως $\displaystyle{2MN = m + n = \frac{{2\tau - (b + c)}}{{\tau - \alpha }} \cdot p = \frac{{2\tau - 2\alpha }}{{\tau - a}} \cdot p \Rightarrow 2MN = 2p \Rightarrow \boxed{{\text{ }}MN = p}}$
κι επειδή $\displaystyle{AZ//MN \Rightarrow \boxed{AK = KM}}$

Αντίστροφα

$\displaystyle{AK = KM \Rightarrow 2p = 2MN = m + n = \left( {\frac{{\tau - b}}{{\tau - \alpha }} + \frac{{\tau - c}}{{\tau - \alpha }}} \right) \cdot p \Rightarrow 2(\tau - \alpha ) = 2\tau - (b + c) \Leftrightarrow \boxed{2a = b + c}}$

: dms.png (30.05 KiB) Προβλήθηκε 1691 φορές

Διχοτόμηση με συνθήκη

Διχοτόμηση με συνθήκη

Re: Διχοτόμηση με συνθήκη

Re: Διχοτόμηση με συνθήκη

Re: Διχοτόμηση με συνθήκη

Re: Διχοτόμηση με συνθήκη

Re: Διχοτόμηση με συνθήκη

Μέλη σε σύνδεση