Διέρχεται από το περίκεντρο

Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9372
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Διέρχεται από το περίκεντρο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Νοέμ 25, 2016 12:57 pm

Διέρχεται από το περίκεντρο.png
Διέρχεται από το περίκεντρο.png (25.9 KiB) Προβλήθηκε 692 φορές
Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ABC, (AB\ne AC) και έστω H το ορθόκεντρο και M το μέσο του μεγάλου τόξου BC

του περίκυκλού του. Επί των πλευρών AB, AC θεωρούμε τα σημεία D, E αντίστοιχα, ώστε η DE να διέρχεται

από το H και να είναι AD=AE. Να δείξετε ότι η HM διέρχεται από το περίκεντρο K του τριγώνου ADE.



Λέξεις Κλειδιά:
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Διέρχεται από το περίκεντρο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Σάβ Νοέμ 26, 2016 7:37 am

Έστω X το μέσο του DE και N το διαμετρικό του M. Επίσης έστω L \equiv AK \cap HM. Αφού τα AM, XH είναι παράλληλα και αντίρροπα, το L είναι εσωτερικό του AX.

Ισχύει \triangle{AXH} \approx \triangle{AMN} οπότε \displaystyle \frac{XH}{AM}=\frac{AH}{MN} = \cos A = \frac{KX}{KB} = \frac{KX}{AK}.

Επίσης, λόγω παραλληλίας των AM, DE ισχύει \displaystyle \frac{XH}{AM} = \frac{LX}{AL}. Άρα K = L αφού τα K, L είναι εσωτερικά του AX.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Άβαταρ μέλους
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1283
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Διέρχεται από το περίκεντρο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Σάβ Νοέμ 26, 2016 2:36 pm

Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτό http://artofproblemsolving.com/communit ... 098p519896 για μία γρήγορη απόδειξη.


Σιλουανός Μπραζιτίκος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες